…nastavak članka “Mala povijest determinističkog kaosa (II.) “…
Dinamički sustavi
Kako bismo mogli razumjeti što se to počelo dešavati polovinom prošlog stoljeća moramo definirati još nekoliko pojmova. Pokušat ću ovdje biti kratak, a detalje ostaviti za neki od sljedećih članaka.
Jedan od bitnijih pojmova su tzv. dinamički sustavi. Pojam dinamičkog sustava je intuitivno jasan ako zamislimo bilo kakvo tijelo koje se giba. Tokom vremena, s obzirom da se giba, tijelo mijenja položaj. I to je to.
Dinamički sustav je, kolokvijalno govoreći, (matematičko) pravilo koje opisuje promjenu stanja (točke, tijela, sustava) u nekom prostoru u ovisnosti o vremenu. Stanje može biti jednostavna koordinata položaja, ali i veći skup brojeva koji opisuju npr. broj jedinki i interakciju populacije riba u bari. Prostor može biti običan koordinatni sustav, ali isto tako može biti kompleksna konfiguracija promatranog ekosustava u kojem se naša bara nalazi. Pravilo koje opisuje promjenu stanja sustava kroz vrijeme je determinističko. Ovo nije nužan uvjet s obzirom da živimo u determinističkom kozmosu, sva pravila (čitaj: matematičke jednadžbe) su deterministička, zar ne? Uglavnom, tri stvari je bitno zapamtit:
- sustav ima stanje u svakom trenutku. To stanje je opisano većim ili manjim skupom brojeva
- postoji definiran prostor, ili kontekst promatranog sustava
- postoji definirano determinističko pravilo koje opisuje promjenu stanja sustava kroz vrijeme. Pravilo je pristojno izraziti u nekakvom formaliziranom obliku, stoga se obično desi da pravilo bude izraženo u obliku nekakve (diferencijalne) jednadžbe.
Primjeri? Matematičko njihalo, planet koji se giba oko svoje zvijezde, plima i oseka, elektronski impulsi u mozgu, epidemija virusa gripe, stvaranje veza među pripadnicima neke sociološke grupacije, srčani ritam… Što god vam padne na pamet, a da se mijenja u vremenu.
Da bi se mogla proučavati povijest dinamičkog sustava potrebno je riješiti njegovu jednadžbu. Problem je što se mnogi sustavi ne daju zapisati pomoću jedne jednadžbe. A čak i ako se mogu, tko kaže da je ta jednadžba (ili sustav jednadžbi) eksplicitno rješiva? Naravno, često nije. Sustavi koji imaju takve jednadžbe koje nisu rješive eksplicitno, nazivaju se nelinearni dinamički sustavi. Za proučavanje istih rade se aproksimacije. Sjećate se, svemir je deterministički. Napravite “otprilike” rješenje, koje ne odgovara potpuno stvarnom stanju stvari ali je dovoljno precizno za određenu potrebu. Ograničite ga. Npr, želite znati kako će se ponašati njihalo ako ga otklanjate za kut do 20 stupnjeva… Tada svjesno radite pogrešku ako idete isto to rješenje koristiti za predviđanje gibanja u slučaju kad ste otklonili njihalo za npr. 21 stupanj.
Kroz proteklih par tisuća godina bili smo prilično nemoćni pred nelinearnošću. Odavno je jasno da je u svakom realnom sustavu nelinearnost prisutna. Sve znanosti su se međutim ograničavale na to da iz modela sustava koji proučavaju uklone nelinearnost, dobiju čisti sustav, izmodeliraju ga i prouče.To je jednostavno bilo nužno da bi se uopće moglo bilo što zaključiti o sustavu. Tek su se pojavom računala nelinearni sustavi počeli detaljnije proučavati. I onda se desilo…
Kako je determinizam eksplodirao
Vratimo se opet našem planetu. Zamislimo da ste dobili podatke koji su točni na prvih 15 decimala. Trebate tu gomilu podataka utipkati u računalo kako bi ih ono provrtilo kroz čudesne jednadžbe. Trenutno vam je dostupno računalo koje može podnijeti brojeve sa samo 6 decimala. Šef vam sjedi na vratu i želi barem preliminarni izvještaj danas popodne. Pa što ako radite sa samo šest decimala? Stoljetno znanstveno iskustvo vam govori da će rezultati biti malo neprecizni, ali dat će barem kakvu takvu sliku o tom planetu. Sigurno dovoljno podataka da isplanirate sljedeću misiju sonde na njega. Krenete na posao i izvješće je začas gotovo, počinje planiranje. Kako to obično biva, tek nekoliko tjedana prije lansiranja shvatite da još uvijek radite s preliminarnim podacima. Nije neki problem, napravit ćete novi proračun, podesiti parametre lansirnog sustava i eventualno pomaknut lansiranje za par sati, dana ili tjedana. Napravite proračun, sada sa svih 15 decimala. Kabooom!!! Vaš planet će se u trenutku prolaska letjelice zapravo nalaziti u potpuno drugoj galaksiji. A vaša letjelica će jedino moći krenuti putem Voyagera. Osim ako u sljedećih par tjedana netko ne napravi više taj warp ili kak se već zove… Projekt vrijedan milijarde dolara možete baciti u smeće. Naime, planet će se prema ovim proračunima vratiti na željeno mjesto tek za 150 000 godina. Što se desilo?
Karikiram, ali nešto slično se desilo. Nije doduše pobjegao planet. Pobjegao je uragan.
Gospodin Lorenz, meteorolog, je napravio jednostavan računalni model vremena. S obzirom da je bio temeljen na tek nekoliko ekstremno pojednostavljenih jednadžbi očekivano je bilo da će se ponašati predvidljivo.Sat vremena kiše, sat vremena sunca, sat vremena snijega, pa opet ispočetka.
Problem je što se model nije ponašao pristojno. Nekoliko jednostavnih jednadžbi generiralo je takvo bogatstvo vremenskih uvjeta da su se nakon nekoliko dana rada počele vrtiti oklade među fizičarima istog zavoda na temu kakvo će vrijeme biti sutra. Nakon isključivanja pogreški u samom modelu i opremi te eventualne neslane šale, Lorenz je napokon uvidio gdje je bila pogreška. Stvar je zahtijevala da na dnevnoj bazi upisujete rezultate prethodnog proračuna u računalo kako biste pokrenuli novi proračun. Lorenz je jednostavno fulao na par decimala pri tipkanju.
E sad, normalan čovjek bi prepisao te decimale kako treba i nastavio proučavati svoj model te pokušao donijeti neke zaključke na osnovu predvidljivog ponašanja modela. Lorenza je ipak kopkalo nešto drugo. Ako je razlika na tek trećoj decimali, zašto se sustav ponaša tako ekstremno drugačije? Prema determinističkom stajalištu, ako se promijenili treću decimalu pogriješili ste za tisućinku pa bi prema tome i rezultat trebao biti, ako ne isti, a onda jako blizak prethodno dobivenom. Lorenzov se model pak nije ponašao ni približno tako. Ukratko, nekoliko malih decimala i sustav bi odabrao posve slučajnu i potpuno nepredviđenu fazu. Očekivali biste maestral, a sustav bi vam dao uragan.
Lorenz je jedan od pionira u području determinističkog kaosa. Ono što je on otkrio na svom modelu je manifestacija osnovnog svojstva nelinearnih dinamičkih sustava. Za tu nepristojnost postoji ipak malo ljepše ima: preosjetljivost na početne uvjete. Što je to? Pa upravo ono što sam u gornjoj karikaturi opisao i što se Lorenzu dogodilo na njegovoj igrački. Mala promjena u početnim uvjetima, daje drastično drugačiji rezultat. I sve to u okviru potpuno determinističkih jednadžbi. Da ponovim: zadate determinističku jednadžbu koja bi uvijek trebala dati približno isti rezultat za približno iste početne uvjete. Umjesto toga, deterministička jednadžba vam generira rezultat koji ste isto tako mogli dobiti potpuno slučajnim odabirom. Kao da 2+2 ne da uvijek četiri. Želite poslati letjelicu na Mars? Odaberite slučajno neki datum lansiranja; poštedit ćete nas mukotrpnog računanja koje bi vam na kraju dalo isto tako potpuno slučajan rezultat…
Realnost determinističkog kaosa
Posljedica preosjetljivosti na početne uvjete ubrzo je dobila svoje ime. Kako to često biva, krštena je prije nego ju se upoznalo. Danas se smatra kako je kaos nesretno odabran pojam, ali više nema pomoći, ime je ostalo. Sustav koji se u jednom trenutku ponaša predvidljivo odjednom manifestira stanja koja su:
- nepredviđena i neočekivana
- gotovo potpuno slučajna
naziva se kaotičnim, a sama pojava deterministički kaos. Znam, izgleda kao da su deterministički kaos i preosjetljivost na početne uvjete sinonimi. Činjenica je da se često kao sinonimi i koriste…
Lorenz nije bio prvi koji je otkrio ovo neobično ponašanje, ali je bio među prvima koji su ga krenuli detaljnije proučavati. Osim što je otkrio da jedan savršeno predvidljiv sustav generira potpuni kaos, Lorenz je napravio i korak više. Ne samo da je stoljećima poznat red u obliku dobrih starih diferencijalnih jednadžbi generirao kaos. Stvar je bila još zanimljivija: unutar kaosa generirao se red.
Zamislimo za početak da se cijelo stanje Lorenzovog modela u jednom trenutku može reprezentirati jednom jedinom točkom u 3D Kartezijevom sustavu. Ako bismo sada promatrali kroz vrijeme kako sustav evoluira i bilježiti npr. svake sekunde jednu točku, te točke bi se počele pojavljivati potpuno slučajno u prostoru. Međutim, ako bismo to radili duže vrijeme počela bi se oblikovati do tada neviđena i neobična krivulja koja izgleda ovako:
Krivulja je danas poznata kao Lorenzov atraktor. Jedna je od mnogih (kasnije otkrivenih i u drugim sustavima) kaotičnih atraktora. Beskonačno je dugačka, ekstremno složena, iako se čini da teži tome da se zgusne u jednu jedinu crtu zapravo nikada samu sebe ne presijeca. Teško bi je bilo moguće vidjeti bez da je se generira računalom i (moram li to reći) ima fraktalna svojstva (Uzmite jedan komadić slike i povećajte ga u smislu da ponovite proračun sa većom preciznošću, na više decimala. Ono što ćete dobiti je niz krivulja unutar prostora u kojem bi trebalo biti samo nekoliko crta.)
Lorenzova genijalnost nije bila zadovoljena otkrićem kaosa u postojećem redu. Da je tu stao ostale bi godine i godine čuđenja kad god bi se otkrilo da neki dobro poznat sustav manifestira kaos čim mu se pruži prilika za to, ali to bi bilo sve. On je napravio korak dalje. Otkrio je red unutar kaosa. Taj red je bio sve samo ne deterministički. I taj red je generirao malu klasu lijepo uređenih sustava koji su pružali zabavu znatiželjnim umovima kroz cijelu povijest znanosti. Bilo je to kao da mu se pred očima otvorio potpuno novi, nikad viđeni svemir.
Novi pogled
Danas se općenito smatra kako je red u onim procesima koje smo proučavali sve do polovice prošlog stoljeća samo izolirani djelić kaosa. Determinizam je doživio svoj krah, barem u smislu snažnog, općeg determinističkog načela. Kaos je realnost u kojoj živimo (bez anarhističkih indicija molim) i počinje pronalaziti stvarnu primjenu. Sustavi koje smo do sada proučavali imaju puno širi aspekt. Onaj djelić koji o njima znamo je malen i često nedostatan za potpuno razumijevanje pojave. To ne znači da je naše dosadašnje znanje pogrešno, ali je zasigurno ograničeno. Zamislite kakve bi romane mogao napisati Tolstoj da je od cijelog jezika poznavao samo točku. Niti jedno slovo, a kamoli riječ. Samo jednu točku… Toliko je mala i ograničena slika potpuno uređenog determinističkog kozmosa naspram onog njegovog djela koji čine kaotične manifestacije u njemu. Stoljećima smo se trudili isključiti nelinearnost iz naših teorija i modela. Pripisivali smo je nesavršenosti naših osjetila, mjernih uređaja i numerike. Sve to nije bilo dovoljno da bismo joj pobjegli. Otkrićem kaotičnog kozmosa napokon su nam širom otvorene oči. Kažu da nije dovoljno samo gledati da bi se vidjelo. Ali i to je dobar početak…
No Comments » | 
Slomljena geometrija | 
Permalink
Posted by El Gruñón
. Zašto je trodimenzionalan? Lako se vidi da je u tom prostoru potrebno barem tri veličine da bismo opisali neki objekt: duljina, širina i visina. Npr., ako trebamo u potpunosti opisati položaj neke točke na Zemlji, možemo se koristiti trima brojkama: zemljopisnom duljinom, zemljopisnom širinom i nadmorskom visinom. Brojka tri nije slučajna. Prva definicija dimenzije koja je ljudima pala na pamet bila je upravo vezana uz ovakve situacije: Dimenzija je minimalan broj realnih parametara potrebnih da se jednoznačno opiše položaj točke u danom prostoru.
(poznata još kao Hamelova dimenzija) jednaka je maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora koje možemo postaviti u tom prostoru. Obrnuto, ako je dimenzija vektorskog prostora n, tada upravo n vektora u tome prostoru razapinju (potpuno i jednoznačno određuju) čitav taj prostor. 