Logističko preslikavanje je pokazalo nevjerojatno bogatstvo dinamičkih pojava. Sustav opisan tim modelom (u ovom slučaju populacija bioloških jedinki) prolazi kroz sve faze koje dinamički sustav može manifestirati. Počinje sa stabilnim fiksnim točkama (točkasti atraktori), preko stabilnih graničnih ciklusa (koje karakterizira kvaziperiodičko titranje u dvije faze: prijelazno stanje i periodičko titranje) te na koncu završava u kaosu uz tipična svojstva koja ga obilježavaju: nepredvidljivost vremenskih nizova i preosjetljivost na početne uvjete. To još uvijek nije sve. Kako ću sada pokazati, ova mala i jednostavna jednadžba manifestira još jedno, možda i najfascinantnije svojstvo kaosa: red.

Bifurkacijski dijagram

Kad je Robertu Mayu postalo jasno da je u režimu kaosa nemoguće vidjeti bilo što gledajući samo pojedine vremenske nizove, pokušao je dobiti širu sliku sustava… Kao što sam pokazao, nije toliko bitno iz koje točke krenete već je bitno koliko je parametar te gdje ste uz takav parametar završili (u jednoj točki, graničnom ciklusu ili kaosu). To se može sumarizirati na jednom jedinom dijagramu. Takav dijagram onda daje sliku sustava za sve .

Princip je sljedeći. Na x-os nanosite vrijednost biotičkog potencijala. Za svaku točku na x-u izračunate vremenski niz vrijednosti populacije. Ako za dobijete jednu stabilnu vrijednost ucrtate nju, ako dobijete periodički niz ucrtate sve vrijednosti niza iznad te točke na x-u… Uglavnom, dobijete nešto ovakvo:

Dijagram se naziva bifurakcijski dijagram, a proces grananja fiksnih točaka ovisno o nekom parametru bifurkacija.

• Za Postoji samo jedna fiksna točka – populacija izumire.
• Za populacija ima također jednu fiksnu točku – preživljavanje
• U dolazi do prvog pucanja: pojavljuje se atraktor perioda 2, tj. populacija sada ima dvije fiksne točke. Povećanjem period oscilacije postaje sve duži i duži.
• U period se, nakon što se rastegnuo koliko god je mogao, udvostručuje te imamo atraktor perioda 4.
• U području kaosa za , x za dani r prolazi kroz praktički sve vrijednosti nekog pod intervala intervala [0, 1].

Oke, ništa što do sada nismo znali, zar ne? Dakle, povećanjem dolazi do višestrukih udvostručenja perioda atraktora. Negdje oko odjednom stvar pukne i nađemo se u kaosu. Sada bismo očekivali da stvar bude jednostavna. Daljnjim povećanjem perioda, sustav postaje sve kaotičniji. Na krajnjoj vrijednosti od , x prelazi preko svih vrijednosti u intervalu [0,1]: cijeli interval je postao atraktor.

Kaskade perioda 3

Neće ići. Pojavljuju se praznine u dijagramu. Što one znače? Pokušajte dobiti vremenski niz s parametrom 3,835 (duboko u kaotičnom području) i voila:

granični ciklus perioda tri, populacija stabilno titra između tri vrijednosti zauvijek:

Kaosa kao da i nije bilo… Daljnjim povećanjem r ovo titranje prolazi sve faze udvostručenja perioda, pojavljuju se atraktori perioda 6, 12, 24,… Na kraju opet završi u kaosu. To je značenje bijelih pruga u sivim vrpcama kaosa. Sustav ne samo da prelazi iz reda u kaos, nego se duboko u režimu kaosa nalaze mali prozori reda. Kaos i red se izmjenjuju u neobičnoj igri. No, ni to još nisu sva iznenađenja koja nam je kaotični majmun pripremio…

Fraktalna svojstva bifurkacijskog dijagrama

Da bi se dobila još bolja slika sustava nije dovoljno samo povećavati biotički potencijal. Treba ga povećavati u sve sitnijim koracima. To je pak ekvivalentno tome da uzmete komadić gornjeg dijagrama, izrežete ga i povećate. Sada umjesto da promatrate r na intervalu [0, 4] gledate na intervalu npr. [3, 3.5]… Ili možda na intervalu [3.5678943, 3.5678945]… Danas, uz pomoć računala, to je relativno jednostavan posao. U doba Maya i Feigenbauma to je bio posao od par dana/tjedana čačkanja po kalkulatoru, računanja vremenskih nizova i ucrtavanja rezultata na dijagram… Nije da nisu imali računala, ali uz to što su bila spora, pristup njima je bio vremenski ograničen i većina se znanstvenika umjesto da čeka svojih par sati u danu (ili čak tjednu) pristupa računalu, i dalje služila puno pristupačnijom metodom: kalkulatorom, olovkom i papirom.

Ako dakle napravite dijagram za podinterval intervala vrijednosti dobijete nešto ovakvo:

Nad nekim podintervalom intervala [0, 4] rekonstruirani bifurkacijski dijagram ima gotovo potpuno isti izgled. Takvo zoomiranje se naravno može nastaviti u nedogled jer se zasniva čisto na računanju sa sve više i više decimalnih mjesta, a ne na fizičkom povećanju slike. Riječ je samo o tome koliko jako računalo imate ili, u neka davna vremena koliko strpljenja s kalkulatorom imate…

Izrazita samosličnost, zadržavanje oblika bez obzira na skalu (povećanje)… Naravno, bifurkacijski dijagram je fraktal. Fraktali->kaos->fraktali->kaos…. jedno ne ide bez drugoga…

Početak igre velikog igrača…

Malo povijesti. Robert May je 1971. g. proučavao logističko preslikavanje kao mogući model ponašanja populacije bioloških jedinki. Uz njega su iste godine još trojica znanstvenika (Nicholas Metrropolis, Paul Stein i Myron Stein) radili na istoj stvari i otkrili začuđujuću kompleksnost ove male jednadžbe. Feigenbaum se s druge strane interesirao za nelinearne probleme. Do tada je već isprobao sve poznate pristupe nelinearnosti, međutim nijedan mu se nije činio zadovoljavajući. Paul Stein ga je obavijestio o otkrićima vezanima uz populacijsku jednadžbu. Feigenbaum je smatrao kako su stvari postale još gore: “Ako je najjednostavnije nelinearno preslikavanje praktički neshvatljivo, kakve onda nade ima za realističnu nelinearnu dinamiku?”

Prikaz dinamičkog sustava pomoću bifurkacijskog dijagrama odigrati će ključnu ulogu u Feigenbaumovom radu… Pokušavajući nastaviti tamo gdje je May stao, Feigenbaum je prvo počeo crtati to čudesno smokvino stablo… Naravno, trebale su mu brojke. Nije bilo tako lako dobiti pristup računalu, a njegov kalkulator, iako ga je bilo moguće programirati, je radio prilično sporo… Trebalo je nekako ubiti vrijeme dok je čekao da se iskristalizira sljedeća točka na bifurkacijskom dijagramu… Sam dijagram i ovo“ubijanje vremena” biti će ključni za Feigenbaumovo otkriće…

…to be kontinjued…

Uobičajeno je s početkom ljeta u časopisima (čak i onim ozbiljnijim) čitati uvodnike i uvode koji obiluju riječima poput: lagano, ležerno, razbibriga…Uglavnom, navada je pisati o tzv. lakšim temama. Naravno, naglasak je na pisati. Ja sam odabrao malo radikalniji način obilježavanja ljeta. Umjesto da punim baterije tako što ću pisati o lakšim temama, jednostavno sam prestao pisati i otišao citiram: „namakati dupe u slanoj vodi“… No dobro, nije baš cijelo ljeto prošlo tako ležerno, ali uglavnom jest. I što da sad radim? Ljeto na izmaku, a ja sam propustio pisati o laganim temama. Da ispravim tu neoprostivu pogrešku (jer, očito je, mora se, a što se mora…) evo jedne ali vrijedne.

U nekom davno pogledanom dokumentarcu o teoriji kaosa, Arthur C. Clarke priča o novoj znanosti, fraktalima i ostalim sitnicama povezanim s njom. Na monitorima se vrte simulacije fraktala evidentno generiranih dobrim starim (ali stvarno starim) Fractint-om. Sve pršti bojama, a dubok i ozbiljan glas tada već također ostarjeloga pisca priča o revoluciji znanstvenog pogleda na svijet. Ono što me kod njega uvijek fasciniralo je način na koji priča : govori o stvarima o kojima, kako se čini, malo zna, ali odmah daje mašti krila i izvodi nevjerojatne mogućnosti novih spoznaja. Za pisca znanstvene fantastike to je naravno pozitivna karakteristika, ali nije bog zna kako upotrebljiva kad vam pokušava objasniti što su to zapravo kaos i fraktali. Nemojte me krivo shvatiti, ovo govori netko tko je sve odiseje progutao još jako davno, kao klinac. Čovjek ima sjajnu maštu i zna kako je pretočiti u priču, ali često imam osjećaj da je jedan od onih čudaka koji duboko vjeruju da su ih oteli vanzemaljci i da su vraćeni na zemlju samo zato da bi druge ljude uvjerili da vanzemaljci postoje i uz to vjeruju da su za to dokaz dovoljne indicije i neobične poveznice između irelevantnih činjenica. Da parafraziram Umberta Eca: uzmite stari kiosk na uglu ulice i ako stvarno tražite broj negdje u njegovim mjerama, kad-tad ćete ga naći. Zaključak koji iz toga slijedi jest da su stari kiosk konstruirali Egipćani još za vrijeme faraona Hata-Muta kako bi odredili položaj mjesečeve sjenke na… Mnogo prašine, ali ne vidi se brdo iza nje… Eto, sad sam se raspisao o starom Arthuru, a zapravo je bitno nešto što je tada rekao. Čovjek u jednom trenutku kaže kako znanstvenici koji se bave kaosom i fraktalima ubrzo počinju u svemu viđati fraktale: lišće, oblaci, krošnje drveća, sedimenti rijeka… Sve ono standardno što zapravo i jesu fraktalne strukture… Međutim, postavlja se pitanje: gdje je granica?

Strogo matematički gledano, trebali bismo barem izmjeriti Minkowski-Bouligand dimenziju pa da možemo reći što je tu fraktal a što nije… Šalu na stranu, jednom kad vas uvuku u svoj svijet, teško je pobjeći natrag. Nakon toga ih vidite posvuda i u svemu. To samo po sebi možda i ne bi bilo toliko loše kad bi se moglo po volji isključiti… A da je simptomatično, to već nije samo insinuacija, to je gotova činjenica… Pa što, reći će, obična profesionalna deformacija… Hm, a što je s nama koji nismo profesionalci?

Dakle, zaražen tom bolešću ili deformacijom, ali s ljetom oslabljenim simptomima, našao sam se nedavno u ugodnu društvu u Puli. Lunjanje gradom nas je odvelo i u Gradsku galeriju u kojoj je u stalnom postavu zbirka djela Antuna Motike, značajnog i meni da tada potpuno nepoznatog hrvatskog slikara. Uz same slike izloženo je i nekoliko skulptura od stakla te veliki LCD ekran na kojem možete pogledati nekih pola sata video materijala o slikaru i njegovom radu. Ovdje neću sada pričati u detalje o tome tko je bio, što je radio itd… Ako vas zanimaju te činjenice, nekoliko referenci na kraju članka bit će dobar početak.

Ono što mi je odvuklo pozornost od fascinantnih, nježnih, gotovo transparentnih slika, bio je dokumentarac o jednoj tehnici kojom se koristio neko vrijeme. Uzeo bi neku vrstu želatinastih tinti, nakapao to na stakalce, prekrio s drugim stakalcem i zatim projicirao na zid, platno ili što već… Bio je fasciniran svjetlom i igrama svjetla i boje. Projicirao je i druge stvari, međutim baš ovi dijapozitivi s tintama su me osupnuli. Ponekad bi projekcija bila statična, a ponekad bi dodatnim pritiskanjem stakalaca dobivao dinamično miješanje boja i svjetla koje bi čovjek mogao dugo gledati… Uglavnom, prekrasno i hipnotizirajuće.

Vele, vrag nikad ne spava. Naravno, tinte su fluidi. Miješanje fluida, turbulentna strujanja: kaos se krenuo primjenjivati upravo na tim problemima…a gdje je kaos tu su i fraktali. I nije čudno da te projekcije izgledaju poput fraktala generiranih umjetno. Kaleidoskop boja i nepravilnost oblika, a ipak savršena harmonija koja ne može zamoriti oko jer je oko upravo građeno tako da se zamara tek na pravilnim, odsječenim, neprirodnim oblicima. Kad tome dodate da se sve giba, za razliku od statičnih slika koje generiram na svom računalu (doduše, postoje i mogućnosti animacije fraktala u nekim programima, ali to je još uvijek meni nedostižno s obzirom na vrijeme koje bi bilo potrebno za renderiranje takve animacije ne mom stroju)… I bum, simptomi su se vratili i ja odmah vidim fraktale i gledam kako bih takvo nešto pokušao zarobiti u formulu (OK, realno, skup formula koji bi dao sličan efekt). Jesam li zbog toga propustio štogod od genijalnoga umjetnika što bih možda vidio da se nisam bavio svojim tričarijama? Ne vjerujem, ali ipak se pitam…

Motika se naravno nije bavio fraktalima. Siguran sam da nije ni znao za njih: u vrijeme kad su nastajali njegovi dijapozitivi, mislim da još ni Mandelbrot nije isprintao svoje prve crno-bijele slike Julijinog skupa. Uostalom jadan bi to umjetnik bio koji bi se ograničio na jednu jedinu tehniku…

Ima li priča kakvu pouku? Naravno, a ona glasi: ako se nađete u Puli, ne propustite pogledati Gradsku galeriju. Zašto? Pa, koliko sam stigao googlati, nema mnogo Motikinih slika na webu, a ono malo što sam našao ne sadrži niti jednu sliku/fotografiju njegovih projekcija o kojima sam pričao… Dakle, želite li ih vidjeti možete ili potražiti te dokumentarce ili otići do Pule i tamo ih pogledati …

Reference:

• Istria on the internet – Antun Motika
• Wikipedija – Antun Motika
• Znanstvena fantastika pazinskog gimnazijalca
• Slikar koji nije tražio zlatni rez
• SVI NJEGOVI RAZLOZI ZA SLIKU

Vidjeli smo do sada da jednostavna (ali nelinearna) jednadžba zvana logističko preslikavanje može biti korištena kao grub ali prilično ilustrativan model pri proučavanju populacijske dinamike:

Kao i kod svih dinamičkih sustava, zanima nas (dugoročno) predviđanje ponašanja konkretnog sustava za različite početne uvjete. Sustav smo konkretizirali odabirom parametra rasta populacije (, poznat još i pod imenom biotički potencijal) te smo odabirom početnih uvjeta () promatrali ponašanje sustava u diskretnim vremenskim razmacima iterirajući danu jednadžbu.

Mogli smo opaziti da bez obzira na početne uvjete sustav uvijek završi u jednom od dva stabilna stanja: populacija ili preživi ili izumre. Naš dinamički sustav se ponaša potpuno deterministički. Sada ćemo vidjeti da stvari postaju malo složenije. Ako dopustimo da biotički potencijal naraste iznad 3, stvari se polako otimaju kontroli…

U početku bijaše…manje od 3

Podsjetimo se. Za bilo koju vrijednost parametra između 0 i 3, populacija će se stabilizirati na nekoj vrijednosti ovisnoj samo o (ne i o ). Grafički, za jedan takav sustav, to izgleda ovako:

Može se pokazati da vrijedi sljedeći teorem.

TM1 Logističko preslikavanje ima dvije fiksne točke. (fiksna točka nekog preslikavanja je točka koja se preslikava sama u sebe, tj. vrijedi )

dokaz Uvjet da bi naša jednadžba imala fiksnu točku glasi:

Nakon što malo raspišemo dobivamo:

Iz čega direktno slijede rješenja kao sljedeće dvije točke i

QED

Vidimo da druga fiksna točka postoji samo ako je r > 1 jer u protivnom fiksna točka postaje negativan broj koji nije dio domene logističkog preslikavanja (striktno govoreći jest, ali se ne uzima jer nema fizikalnog značenja – populacija ne može biti negativna).

Uvedimo sada pojam stabilnosti fiksne točke. Da bismo odredili stabilnost neke točke preslikavanja moramo promatrati ponašanje prve derivacije danog preslikavanja u točki kojoj želimo provjeriti stabilnost. Za fiksnu točku x preslikavanja f vrijedi sljedeće:

• |f’ (x)| < 1 – stabilna Stabilne fiksne točke signaliziraju mogućnost dugoročnog predviđanja. Fizikalno predstavljaju mjesta nečeg što je poznato kao termin stabilne ravnoteže. Analogija s kuglicom na dnu zdjele: ako malo pomaknete kuglicu ona se zakotrlja i opet vrati na dno zdjele. Analogija s tekućinom: stabilne točke se nazivaju i ponorima – tekućina utječe u njih. Kako se stabilne fiksne točke ponašaju poput magneta za sve oko njih, iz latinskog je preuzet naziv koji se u dinamici često rabi: atraktori.
• |f’ (x)| > 1 – nestabilna Nestabilne fiksne točke. Analogne su pojmu labilne ravnoteže. Dokle god se nalazite u samoj nestabilnoj točki ne idete nikamo. Međutim, minimalni pomak u okolinu te točke rezultira nepovratnim udaljavanjem od nje. Ovo se može zamisliti kao kuglica na brežuljku: može se postići da stoji na njemu ali i najmanji pomak i ona se kotrlja prema dnu – sama od sebe neće se vratiti natrag u ravnotežno stanje na vrhu brežuljka. U analogiji s fluidima, ovakve točke se nazivaju izvorima.

mala napomena: Ovo nije potpuna karakterizacija fiksnih točaka. Ovim problemom se bavio i elegantno ga riješio (za dvije dimenzije) Poincare. U jednom od sljedećih članaka ću to obraditi…

Malo računanja nam daje sljedeće:

• je stabilna za
• je stabilna za

Stabilnost danih fiksnih točaka se manifestira upravo u činjenici da za bilo koji početni uvjet naš sustav (prije ili kasnije) završi na kraju u jednoj od tih točaka (pod uvjetom da je i biotički potencijal unutar zadanih vrijednosti).

Geometrijska interpretacija

Uz čisto numeričko iteriranje naše funkcije, postoji još jedan, geometrijski način da se promatra iteracija . To je metoda pomoću tzv. paučinastih dijagrama. prednost ove metode je ilustrativnost i elegancija iz čega je uvijek lakše nešto zaključiti nego kada baratate hrpom suhih brojaka.

Ideja je sljedeća. Znamo da je . To znači da moramo na horizontalnu os nanijeti točku i iz nje krenuti vertikalno dok ne udarimo u graf funkcije . Sada tako dobivena vrijednost mora biti ponovo nanesena na horizontalnu os kako bi se mogla upotrijebiti za novu iteraciju. Najlakši (!?) način da y-vrijednosti ponovo nanesemo na x-os je da presavijemo x-y ravninu oko pravca y=x. Iz ovoga su ljudi napravili sljedeći algoritam za iteriranje našeg preslikavanja:

• počni s na x-osi
• crtaj vertikalnu liniju dok ne udariš graf funkcije f(x)
• pomakni se horizontalno do pravca y=x
• pomakni se vertikalno (gore ili dolje) do grafa f(x)
• ponavljaj zadnja dva koraka generirajući nove točke

Zbunjeni? Izgleda vrlo jednostavno jednom kad se nacrta:

Odmah se vidi da (u okviru zadanog r) ovaj sustav ima jedan točkasti atraktor.

Nešto je u broju 3: put u kaos

Počnimo sada polako povećavati biotički potencijal iznad brojke 3. Dešava se nešto neobično. Sustav je izbačen iz ravnoteže i traži novi ravnotežni položaj. Za i nakon početne nestabilnosti niz brojeva izgleda ovako:

tj. sustav ulazi u stabilnu oscilaciju između dva broja ili, kako se to češće kaže sustav oscilira s periodom 2:

Što se tu zapravo desilo? Fiksne točke i dalje postoje. Ako sustav krene iz jedne fiksne točke, uopće neće doći do oscilacije. populacija se neće uopće mijenjati s vremenom. Međutim, čim malo odlutate od fiksne točke, sustav odlazi u oscilaciju.

Nastavimo povećavati biotički potencijal. Nakon nekog vremena niz brojeva doživljava još jednu nestabilnost te izgleda ovako:

Primjećujete pravilnost? Sustav i dalje pokušava ostati u ravnoteži. Period dva nije više bio dovoljan. Sada populacija oscilira između četiri vrijednost, odnosno s periodom četiri. Period se udvostručio, a atraktor ima četiri točke. Nastavimo li i dalje povećavati biotički potencijal, period titranja se nastavlja udvostručavati. Pojavljuju se atraktori perioda 8, 16, 32, … Međutim, u jednom trenutku stvar pukne:

Period se udvostručio praktički u beskonačnost. U tom trenutku sustav za dva gotovo ista početna uvjeta može dati potpuno različite vremenske nizove (na donjoj slici početni uvjeti se razlikuju za samo 0,001):

Nepravilnost dobivenih vrijednosti iz determinističke jednadžbe. Osjetljivost na početne uvjete. Očito je, ušli smo u područje kaosa.

Što se zapravo desilo? May nije mogao vjerovati. Jedan te isti sustav koji se ponašao tako pristojno jednostavno je poludio. Iz potpuno stabilnog i predvidljivog stanja, preko kvazistabilnog periodičkog, sustav je otišao u nešto što je izgledalo kao hrpa slučajnih brojeva. Vrijednosti koje je dobio nije mogao objasniti. Probao je mnogo simulacija povećavajući biotički potencijal u sve manjim koracima s uvijek istim rezultatom. Bio je zadivljen kompleksnošću koju je dobio. Nije uočio uzorak koji će kasnije postati legendarnim…

Duboko u području kaosa oscilacije izgledaju potpuno nepravilne i nepredvidljive. Ova pojava je dugo vremena bila zanemarivana i nitko se nije ni trudio dublje je proučiti. Pogledate li gornju sliku, to i ne čudi. Tko bi pomislio da ovdje postoji ikakva pravilnost? Kako će se pokazati, sustav i dalje skakuće po “ravnotežnim” stanjima. Ona su neobična, teško ih je na prvi pogled otkriti… Zapravo, populacija i dalje ima atraktor. Samo je malo čudan. Da bi ga se otkrilo bilo je potrebno računalo ili čovjek koji ima volje puno tipkati po kalkulatoru i još k tome malo varati i pokušati razmišljati unaprijed… Nekoliko godina nakon izlaska Mayevog članka, njegov rad dolazi u ruke Feigenbaumu i on shvaća kako je upravo takav primjer tražio da bi mogao započeti svoj rad…

…to be kontinjued…

Reference:

• Interactive Logistic map – nekoliko prekrasnih java apleta koji omogućuju interaktivno istraživanje kako vremenskih nizova tako i paučinastih dijagrama logističkog preslikavanja.
• Logistic Equation: Parable of parabola – Još malo matematičke pozadine logističkog preslikavanja (objašnjenja stabilnosti fiksnih točaka i graničnih ciklusa)
• Razni Java Apleti – vezani uz logističko preslikavanje ali i kaos općenito.
• Introduction to Nonlinear Dynamics in the Logistic Map
• Graphical method explained
• “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Robert M. May

Godine 1979. jedan je nadasve neobičan čovjek otkrio nadasve neobičnu činjenicu. Stvar je bila tako malo vjerojatna da ni sam u početku nije vjerovao… U pokušaju dokazivanja onog što mu se na trenutak ukazalo potrošio je mnogo kofeina i nikotina te na kraju gotovo nastradao od iscrpljenosti… Uz dokaz da nije moguće preživjeti mjesece napornog rada koristeći samo kavu, cigarete i džepni kalkulator, pružio je i kvalitativan dokaz jedne neobične matematičke pojave koja se manifestira u svima (ali baš svim!) kaotičnim sustavima. Čovjek se zvao Mitchell Jay Feigenbaum.

Kao jedan od vrhunski američkih fizičara tog vremena, Feigenbaum je radio u kompleksu Los Alamosa. Riječima Iana Stewarta: “Neki od njegovih kolega ne bi se složili s tom riječju – radio – jer nitko nije baš točno znao na čemu to Feigenbaum radi. Čak ni sam Feigenbaum!” Kao dio znanstvene elite tog vremena, bio je oslobođen standardne groze akademskog života: dužnosti da predaje i objavljuje radove. U to vrijeme je fizika čestica bila u zamahu, svi koji su mislili o ikakvoj karijeri u fizici, bavili su se njome. Količina magisterija i doktorata iz tog područja i u to vrijeme bila je ogromna, a Los Alamos je bio jedan od velikih svjetskih centara u kojem su se mogli vršiti eksperimenti i istraživanja tog tipa. Feigenbaum je bio dio svega toga. Često se znalo desiti da mu kolege dođu s nekim problemom koji bi im on pomogao riješiti. Oni koji se tada radili tamo kažu kako je Feigenbaum to radio usputno, pokazujući golemo znanje, ali gotovo nikakav interes za uzbudljiv subatomski svijet. Sam nije započinjao nikakva istraživanja. Ono po čemu je ubrzo nakon dolaska u Los Alamos postao poznat bile su njegove dugačke šetnje po okolnim brdima s obvezatnom cigaretom u ustima i rastresenim pogledom koji zuri u nebo. Umjesto da radi, Feigenbaum je promatrao oblake…

Da bih pokazao što je to zapravo otkrio uzet ću školski primjer, kako ga Stewart naziva: “veseli majmun u kavezu teorije kaosa”, primjer koji se nalazi u svim knjigama o kaosu. Naravno, upravo na proučavanju tog majmuna Feigenbaum je došao do svog otkrića. I naravno, kao i mnogo toga u teoriji kaosa, majmun u početku nije imao nikakve veze s fizikom. Zapravo, u vrijeme kad je Feigenbaumu došao u ruke, više nije imao veze s ničim osim s podučavanjem studenata prve godine studija biologije i/ili ekologije kao povijesni primjer pokušaja modeliranja rasta populacije bioloških jedinki; povijesni primjer koji se više ne koristi jer postoje bolji i razvijeniji modeli za tu svrhu.

Logističko preslikavanje (populacijska jednadžba)

Zamislite da imate malu baru ili jezerce i u njemu populaciju riba koju možete izbrojati. Recimo da želite predvidjeti koliko riba će biti u toj bari sljedeće godine u isto vrijeme. Svakome tko se iole bavio biologijom biti će odmah jasno da na odgovor na to pitanje utječe nekoliko faktora poput količine dostupne hrane, postojanje i broj grabežljivaca koji se hrane vašim ribama, eventualna pojava bolesti i otpornost na istu, itd… Međutim, u najjednostavnijem modelu, populacija riba iduće godine ovisit će samo o broju riba ove godine. To možemo zapisati kao jednostavnu rekurzivnu formulu:

pri čemu je:

• – broj riba iduće godine,
• - trenutni broj riba,
• – funkcijska ovisnost o

Ako sad znate broj riba u tekućoj godini i na koji način broj riba u sljedećoj godini ovisi o trenutnom broju riba () tada možete izračunati broj riba u idućoj godini… Ponavljajući postupak (iterirajući), uvijek uvrštavajući trenutnu vrijednost broja riba da biste dobili sljedeću, možete promatrati kako se populacija mijenja kroz godine. Očito je da ćete dobiti bitno različite nizove vrijednosti za različito odabrane F . Ili možda ipak? O tome malo kasnije… Za ekologe je sigurno najbitnije pitanje: koji uopće odabrati?

Najjednostavnije bi bilo misliti kako će svake godine populacija porasti za neki postotak. Ovo bi bio idealan teoretski slučaj sustava u kojem nema ograničavajućih faktora za populaciju (nema grabežljivaca, bolesti i hranidbeni resursi su neograničeni). U tom slučaju bi naša jednadžba poprimila ovakav (čisto linearni) oblik:

pri čemu jednostavno određuje koliko puta populacija poraste u godinu dana. Ovakav model daje:

• neograničen rast populacije za
• neograničen pad populacije za

Naravno, sasvim je očito da ovo nije realističan model. Realno se dešava nešto drugo. Populacija neko vrijeme raste. Zatim zbog ograničenih resursa u ekosistemu raste sve sporije dok ne dosegne neku kritičnu točku nakon koje počinje opadati. Opada sve dok se resursi ne oporave te opet počinje rasti. Kroz dugi niz godina, može se desiti da se ustali na nekoj stabilnoj vrijednosti ili ne, što opet ovisi o sustavu. Kako ovo modelirati?
1971. ekolog i matematičar Robert May bavio se jednostavnim modelom populacijske dinamike proizašlim iz općenite populacijske jednadžbe. Njegov model bio je ovakav:

Imamo sada dva faktora koji nam određuju populaciju: i te naravno faktor rasta . S obzirom da opada kada raste i obrnuto, ovim jednostavnim modelom moguće je teoretski prikazati ponašanje populacije koje je puno bliže realnoj situaciji. Ostaje još pitanje izbora faktora . I tu sada nastaju problemi. Što se faktora rasta tiče, možete jednostavno početi od nule i povećavati ga, te tako za svaku dobivenu jednadžbu ubaciti par početnih x-eva i pogledati kako se ponaša populacija kroz godine. Zapravo, dosadan numerički posao kojeg je i May probao raditi i to u vrijeme kad su računala bila alat kojem su malobrojni znanstvenici vjerovali i kojeg su još malobrojniji od njih aktivno koristili.

Ja imam malo više sreće pa mogu na računalu isprobavati što se događa. Probajmo… Za i početnu populaciju dobivam niz vrijednosti:

Populacija se ustali na vrijednosti 0,4737 nakon svega nekoliko godina. Ovo nije uvijek tako. Zapravo sistematski to izgleda ovako:

• – populacija će izmurijeti bez obzira na vrijednost
• – populacija konvergira broju
• – populacija također konvergira broju , međutim prije nego se ustali oscilira neko vrijeme oko te vrijednosti. Kad dostigne 3, konvergencija je jako spora ali populacija na kraju ipak dostiže stabilno stanje.
• Za populacija divergira u za gotovo svaki početni
• dešavaju se zanimljive stvari o kojima će biti riječi u nastavku. Zapravo, populacija se počinje ponašati kaotički.

Ono što se Mayu desilo u jednom trenutku bila je posljedica evidentne nelinearnosti gore navedene jednadžbe. Način na koji je May postupio bio je simptomatski za cijelu znanost do druge polovice dvadesetog stoljeća. U jednom trenutku vrijednosti populacije za odabrani su počele izgledati potpuno nepredvidljive i nepravilne. May je odredio kad se to točno desi (za koji ) i tu je stao. Zašto? Pa naravno, jednadžba je nelinearna i u određenom trenutku nelinearnost se počinje manifestirati. To je trenutak u kojem model prestaje biti zanimljiv. Znanost teži “čistim” modelima koje je (relativno) lako kontrolirati i iz njih izvlačiti zaključke. Kad se u modelu pojavi nelinearnost, model postaje neupotrebljiv za proučavanje: linearan dio modela je zanimljiv, zar ne?

Dakle, May jednostavno kaže: model se ponaša pristojno do te i te mjere, a nakon toga postaje neupotrebljiv. Guranje smeća pod tepih? Kosturi u ormaru? To su neke stvari koje mi padaju na pamet. Ako nagomilate probleme pod tepihom kad tad će vam eksplodirati u lice. Vidjet ćemo da su stvari puno zanimljivije nego što je May vidio. A to će se desiti onog trenutka kad Feigenbaum nabasa na veselog majmuna kaosa….

…to be kontinjued…

Dodaci:

- Logističko preslikavanje – tablica – Ako imate Microsot Excell, možete downloadati tablicu u kojoj je moguće promatrati što se događa s populacijom riba ako mijenjate parametre r i x0 kod logističkog preslikavanja…

Iako je pojam topološke dimenzije stvorio strožu i općenitije primjenjivu definiciju, takva definicija i dalje ne daje prihvatljiv odgovor na pitanje o dimenziji iznimno složenih objekata kao što su fraktalne (a time i prirodne) strukture. Uzmimo primjer jednostavnog fraktala kao što je Kochova krivulja. Iako se na prvi pogled čini da joj je dimenzija jedan to baš i nije prihvatljivo. Ako pogledamo prvih par iteracija, stvar izgleda kao prosječna ravninska krivulja: analogno određivanju dimenzije pravca u prethodnom dijelu možemo reći topološka dimenzija našeg čudovišta jednaka jedan. Međutim, ne smijemo zaboraviti da je ona zapravo beskonačno puta prelomljena krivulja. Još jednom: beskonačno. Po definiciji, obična ravninska krivulja nema širinu, samo duljinu (zato je jednodimenzionalna), ali naše čudovište se zbog silnih lomova više po izgledu približava plohi (ima “širinu” veću od nula i duljinu). Ipak, pod povećalom, to je krivulja. Izgleda kao da živi negdje između dimenzija jedan i dva. Neprihvatljivo je u isti koš trpati nju i sve ostale pristojne krivulje.

Norma, metrika i metrički prostor

Prije nego što nastavim podsjetimo se nekoliko jednostavnih pojmova. U 2D euklidskom prostoru distancu između dvije točke možemo odrediti formulom poznatom još iz osnovne škole pod imenom Pitagorin poučak:

Ovo se lako proširuje i na više dimenzija. Također, lako se vidi da ovako definirana, zadovoljava skup jednostavnih svojstava koji opisuju jednu klasu matematičkih veličina zvanih norma. U jednom te istom prostoru može postojati više veličina koje zadovoljavaju ova svojstva (više normi). Gore definirana norma naziva se euklidskom normom, ali u postoje i druge. Svaka norma u nekom prostoru definira jednu metriku. Svaki prostor u kojem je moguće definirati metriku naziva se metrički prostor. Što ovo sve znači? Pa, kako sam rekao stvar je jednostavna: ako imate metrički prostor onda imate mehanizam određivanja udaljenosti u njemu. Ako pak možete određivati udaljenosti možete definirati takozvane zatvorene diskove. Primjer: uzmite neku točku u ravnini i sve točke koje su od nje jednako udaljene. Dobit ćete kružnicu. Zatvoreni disk je ta kružnica i sve točke unutar nje. U diskovi bi zapravo bili kugle. Naravno, sve to pod pretpostavkom da koristite euklidsku normu. Kako sam rekao, moguće su i druge norme pa je moguće konstruirati takvu metriku u kojoj su zatvoreni diskovi u obliku kvadrata (kocki)…

Hausdorff-Besicovitcheva dimenzija

Uzmimo da imamo metrički prostor X (npr. kvadrat duljine stranice 1) Koliko zatvorenih diskova (u našem primjeru neka budu kvadrati) trebamo da bismo ga prekrili? Odgovor ovisi o tome koliko su veliki diskovi. Očito, ako je naš disk stranice 1 , treba nam 1 disk. Ako je disk duljine stranice trebaju nam 4 diska. Za disk duljine stranice treba nam 9 diskova… To pokazuje sljedeća slika:

Nazovimo veličinu kojom određujemo disk slovom , a broj takvih potrebnih diskova . Vidimo da za gornji slučaj vrijedi:

te se Hausdorffova dimenzija računa kao:

Što je gornjem primjeru:

Općenitije zapravo vrijedi:

a gornji primjer je aproksimacija koja ima svoju posebnu primjenu i ime, a o čemu nekoliko redaka kasnije. Pokazuje se da ovako definirana veličina ima sljedeća svojstva:

• daje potpuno jednake vrijednosti dimenzije za klasične topološke objekte, ali poopćuje topološku definiciju.
• ne mora uvijek biti cijeli broj
• iako je definirana u metričkom prostoru ne ovisi o metrici prostora u kojem se primjenjuje

Najpoznatija posljedica ovako definirane dimenzije je činjenica da ona ne mora biti cijeli broj (primijenjena na Kochovo čudovište daje dimenziju ). Ovo se često uzima kao jedno od osnovnih svojstava fraktala što nije u potpunosti točno. Prema Mandelbrotu fraktal je objekt čija je Hausdorffova dimenzija striktno veća od njegove topološke dimenzije. Ipak, čest je slučaj da je to zapravo realan, a ne prirodan, broj pa odatle zabuna.

Minkowski-Bouligand dimenzija
(poznata još i kao Box-counting dimenzija ili Packing dimenzija)

Iako je Hausdorffova dimenzija od velike teoretske važnosti, ona u praksi ima slabu primjenu. Naime, lako ju je izračunati kod fraktala koji su umjetno stvoreni. U takvom slučaju znamo kako se fraktal generira te možemo iz tog podatka odrediti i . Međutim, kod realnih fraktalnih struktura (npr. morske obale) to nije moguće. Umjesto toga, fraktal se prekriva mrežom kvadratića (eg. milimetarskim papirom) sve finije i finije razdiobe (dakle, umjesto da gledamo razdiobu fraktalnog generatora, mi univerzalno koristimo kvadratić bez obzira na to kakav je generator fraktala; naravno, čisto zato jer generator često ne možemo ni odrediti). Ovo daje jako jednostavan algoritam pri kojem se prebrojavanjem kvadratića koji prekrivaju danu strukturu određuje dimenzija prema formuli sličnoj gore navedenoj za Hausdorffovu dimenziju. Naravno, ovako određena dimenzija ima samo aproksimativnu vrijednost (pri čemu je aproksimacija to bolja što upotrijebimo sitniju razdiobu), međutim u praksi je to dovoljno. Primjer kako to izgleda možete vidjeti na slici ispod:

Fraktalne dimenzije

Iako su ovdje navedene dvije osnovne definicije fraktalne dimenzije, izvori na webu tvrde da ih ima (ili ih je barem moguće konstruirati) još. Nažalost, do detaljnijih podataka o tome nisam uspio doći.

Dimenzija fraktala je na neki način mjera njegove kompleksnosti. Za umjetno konstruirane fraktale kod kojih je samosličnost jako izražena sve definicije fraktalne dimenzije daju isti rezultat. Međutim, one ni u kom slučaju nisu ekvivalentne. S obzirom na enormnu kompleksnost objekata kojima se fraktalna geometrija bavi, bilo koja od tih definicija može dobro poslužiti u pojedinom slučaju, a biti gotovo potpuno beskorisna (u smislu realno neizračunljiva) u nekom drugom slučaju.

Spužva i zgužvani papir…

Ova dva primjera zapravo nisu fraktali ali dobro ilustriraju što se događa kad pokušamo odrediti dimenziju fraktalnih struktura. Njihova topološka dimenzija je često odmah intuitivno jasna, no kad taj podatak pokušamo upotrijebiti za nešto korisno, dolazi do problema u vidu kontradikcija (kao kod zgužvanog papira). Iako se čini evidentnim da, ako dimenzija nije ni jedan ni dva, mora biti nešto između, tek je Mandelbrot u sedamdesetim godinama prošlog stoljeća sistematizirao do tada poznato znanje i primjenio ga na objekte kojima je dopustio da imaju dimenzije koje nisu cijeli brojevi. Upravo zahvaljujući tom svojstvu razlomljene dimenzije fraktali su dobili ime (lat. fractus, nepravilna, razlomljena površina)

Reference:

• Wikipedia – Fractal dimension
• Wikipedia – Hausdorff dimension
• Wikipedia – Minkowski-Bouligand dimension
• Hrvatski Matematički časopis – Eksperimentalno određivanje fraktalne dimenzije (by H. Eklić)
• ChaosHypertextBook – Fractal dimension
• Fractal dimension of Koch snowflake
• Fracal dimension calculation
• Java applet koji demonstrira izračun Minkowski-Bouligand dimenzije morske obale