Kochova pahuljica - čudovište zarobljeno unutar savršenstva

Sunday, 25. March 2007.

Da ste kojim slučajem rođeni početkom dvadesetog stoljeća i da ste se u životu odlučili baviti matematikom tada biste se prije ili poslije susreli s jednim novootkrivenim čudovištem. Tadašnja matematika vam ne bi mogla dati odgovore koje biste tražili ako biste ih se i usudili tražiti. Naime, postojale su i zanimljivije teme za istraživanje u to doba, a pokušati definirati i objasniti jednu ovakvu (naizgled) kontradiktornu konstrukciju smatralo se gubitkom vremena i općenito lošim ukusom. Kako je općenito poznato, loš ukus se ne smije tolerirati.

Rođenje čudovišta

Kao i za sve velike događaje, tako je i za ovaj poznata samo približna vremenska koordinata. Naime, po dostupnim podacima evidentno je da se događaj zbio 1904. godine. No, točan trenutak rođenja ove bizarne ideje nije poznat a najvjerojatnije nije bio poznat ni onom tko ju je iznašao (pitanje bi li povijest bila zanimljivija i općenito bolja kad bi se pamtile takve točne vremenske koordinate je za relevantno samo cinicima i onima koji znaju nešto o fizikalnoj nemogućnosti mjerenja takvih koordinata pa ga ovdje neću produbljivati). Daklem, 1904. godine švedski matematičar Helge von Koch je opisao postupak za dobivanje i uzgoj vlastitih čudovišta (u dokumentu naslovljenom “Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire”). Ono što je predložio mogao je izvesti svatko s malo papira, škarama ili besposlenim mozgom koji ima kakvu-takvu mogućnost vizualizacije. Koch je svoje otkriće smatrao zanimljivom matematičkom dosjetkom. Tek će šezdesetak godina poslije jedan matematičar povući neobičnu paralelu koja povezuje naše čudovište s obalom Velike Britanije i time otvoriti put revoluciji. To je pak tema jednog od sljedećih članaka…

Kak to zgleda?

Postupak je prilično jednostavan. Počnete od svima poznatog i nimalo neobičnog jednakostraničnog trokuta. Uklonite srednju trećinu svake stranice. Na prazna mjesta dodate novi jednakostranični trokut. Uklonite bazu dodanog trokuta. Ponavljate postupak dok je svijeta i vijeka i još malo poslije (tj. beskonačno) za svaki trokut koji vidite. Rezultat prvih nekoliko koraka je prikazan na sljedećoj slici:

Kochova pahuljica

Nije strašno, zar ne? Ne tresu vam se gaće? Ne razmišljate o tome da ugasite komp i prošećete malo po kvartu sa psom pretresajući pitanje o životu svemiru i svemu ostalom? Nisam ni mislio, ali strahote tek počinju…

Prvo lagano pitanje…

Koliki je opseg naše krivulje? Ovaj izračun nije teško napraviti. Neka je n broj iteracijskih koraka. Tada u svakom koraku možemo definirati sljedeče veličine:

  • N_n = Broj stranica u svakom n-tom koraku
  • l_n = duljina jedne stranice u n-tom koraku
  • O_n = Opseg krivulje nakon n koraka = L_n * O_n

Iz slike je vidljivo da nakon svake iteracije broj stranica poraste za faktor 4.
Ako duljinu stranice početnog trokuta označimo s a , onda je N_0 = 3 a N_n = 3 * 4^n . Nadalje, u svakom koraku je duljina stranice manja za faktor 1/3 od stranice prethodnom koraku, tj. vrijedi da je l_n = a \dfrac{1}{3^n} Dakle, opseg krivulje je

O_n = N_n * l_n = 3a * \left( \dfrac{4}{3} \right)^n

odnosno

\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} \left[ 3a * \left( \dfrac{4}{3} \right)^n \right] = \infty

Prevedeno na jezik običnih ljudi, opseg krivulje nakon beskonačno mnogo koraka je - beskonačan.

Drugo lagano pitanje …

Kolika je površina koju zatvara Kochova pahuljica? Označimo za početak površinu polaznog istostraničnog trokuta kao:

P_0 = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2

Kako se u svakom koraku iteracije dodaju”mali” trokuti na postojeću površinu i kako je duljina stranice svakog takvog”malo” trokuta 1/3 puta manja od stranice u prethodnom koraku, površina tog malog trokuta u n-tom iteracijskom koraku iznosi:

P_n' = \dfrac{\sqrt3}{4}\left( \dfrac{a}{3^n} \right) ^2 = \dfrac{P_0}{9^n}

Koliko takvih trokuta dodajemo? Iz slike se vidi da (ako je n redni broj koraka iteracije) vrijedi:

pov1

dodanih “malih” trokuta. Stoga možemo pisati:

pov2

Ako raspišemo prvih nekoliko članova dobivene formule može se vidjeti da je konačni oblik zapravo:

P_n = P_0 \left\lbrace 1 + \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{4}{9} \right)^0 + \left( \frac{4}{9} \right)^1 + \left( \frac{4}{9} \right)^2 + \left( \frac{4}{9} \right)^3 + ... + \left( \frac{4}{9} \right)^{n-1} \right] \right\rbrace

Odnosno:

pov3

Na kraju vidimo da je površina nakon beskonačno mnogo koraka - konačna. Nije vam se upalila lampica? Još uvijek bezbrižno čitate?

Zaključak od kojeg se tresu gaće

Kochova pahuljica na jednostavan način demonstrira jedno od poznatih svojstava fraktala. Beskonačno dugačka granica zatvara konačnu površinu. Ovakvi objekti su početkom prošlog stoljeća izazivali pomutnju među matematičarima ali sve do pedesetih godina istog stoljeća nisu imali široki krug proučavatelja. Dijelom zato jer nitko nije uvidio da postoji veza među mnogim takvim objektima (da, čudovište nije jedino!!!), a drugim dijelom zato što je tadašnja matematika bila zaposlena pokušajima restrukturiranja samih svojih temelja koji su se pokazali problematičnima (npr. 1902.g. Rusellov paradoks) pa su se ove stvari činile egzotične i trenutno irelevantne.

Čudovište je jedan od najstarijih poznatih fraktala. Paradoks konačne površine omeđene beskonačno dugom krivuljom rješen je otprilike istovremeno kad je nastao pojam fraktal. Nakon što je Madelbrot definirao objekte koji mogu imati decimalnu dimenziju i nazvao ih fraktalima, pokazano je da dimenzija Kochove pahuljice iznosi približno 1.26. O fraktalnim dimenzijama u jednom od sljedećih članaka…

I zanimljivost za kraj

Stari Grci su prvi javno priznali ono što se prešutno smatralo istinom tisućama godina prije njih: kružnica je savršen geometrijski lik. Kakve to veze ima? Prvo, površina koju zatvara Kochova pahuljica je u svakom koraku iteracije veća od površine inicijalnog trokuta. Postoji li gornja granica? Naravno, inače površina ne bi bila konačan broj. Uglavnom, može se pokazati da je dana površina uvijek manja od površine inicijalnom trokutu opisane kružnice. I ne samo to: Sama krivulja nikada ne prelazi granicu te kružnice. Beskonačno dugačka krivulja zarobljena je konačno dugačkom i još k tome savršenom krivuljom: kružnicom. Da se čovjek zamisli…

Reference

5 Comments | Historia, Slomljena geometrija, Stelae | Permalink
Posted by El Gruñón