Mala povijest determinističkog kaosa (III.)

…nastavak članka “Mala povijest determinističkog kaosa (II.) “…

Dinamički sustavi

Kako bismo mogli razumjeti što se to počelo dešavati polovinom prošlog stoljeća moramo definirati još nekoliko pojmova. Pokušat ću ovdje biti kratak, a detalje ostaviti za neki od sljedećih članaka.

Jedan od bitnijih pojmova su tzv. dinamički sustavi. Pojam dinamičkog sustava je intuitivno jasan ako zamislimo bilo kakvo tijelo koje se giba. Tokom vremena, s obzirom da se giba, tijelo mijenja položaj. I to je to.

Dinamički sustav je, kolokvijalno govoreći, (matematičko) pravilo koje opisuje promjenu stanja (točke, tijela, sustava) u nekom prostoru u ovisnosti o vremenu. Stanje može biti jednostavna koordinata položaja, ali i veći skup brojeva koji opisuju npr. broj jedinki i interakciju populacije riba u bari. Prostor može biti običan koordinatni sustav, ali isto tako može biti kompleksna konfiguracija promatranog ekosustava u kojem se naša bara nalazi. Pravilo koje opisuje promjenu stanja sustava kroz vrijeme je determinističko. Ovo nije nužan uvjet s obzirom da živimo u determinističkom kozmosu, sva pravila (čitaj: matematičke jednadžbe) su deterministička, zar ne? Uglavnom, tri stvari je bitno zapamtit:

• sustav ima stanje u svakom trenutku. To stanje je opisano većim ili manjim skupom brojeva
• postoji definiran prostor, ili kontekst promatranog sustava
• postoji definirano determinističko pravilo koje opisuje promjenu stanja sustava kroz vrijeme. Pravilo je pristojno izraziti u nekakvom formaliziranom obliku, stoga se obično desi da pravilo bude izraženo u obliku nekakve (diferencijalne) jednadžbe.

Primjeri? Matematičko njihalo, planet koji se giba oko svoje zvijezde, plima i oseka, elektronski impulsi u mozgu, epidemija virusa gripe, stvaranje veza među pripadnicima neke sociološke grupacije, srčani ritam… Što god vam padne na pamet, a da se mijenja u vremenu.

Da bi se mogla proučavati povijest dinamičkog sustava potrebno je riješiti njegovu jednadžbu. Problem je što se mnogi sustavi ne daju zapisati pomoću jedne jednadžbe. A čak i ako se mogu, tko kaže da je ta jednadžba (ili sustav jednadžbi) eksplicitno rješiva? Naravno, često nije. Sustavi koji imaju takve jednadžbe koje nisu rješive eksplicitno, nazivaju se nelinearni dinamički sustavi. Za proučavanje istih rade se aproksimacije. Sjećate se, svemir je deterministički. Napravite “otprilike” rješenje, koje ne odgovara potpuno stvarnom stanju stvari ali je dovoljno precizno za određenu potrebu. Ograničite ga. Npr, želite znati kako će se ponašati njihalo ako ga otklanjate za kut do 20 stupnjeva… Tada svjesno radite pogrešku ako idete isto to rješenje koristiti za predviđanje gibanja u slučaju kad ste otklonili njihalo za npr. 21 stupanj.

Kroz proteklih par tisuća godina bili smo prilično nemoćni pred nelinearnošću. Odavno je jasno da je u svakom realnom sustavu nelinearnost prisutna. Sve znanosti su se međutim ograničavale na to da iz modela sustava koji proučavaju uklone nelinearnost, dobiju čisti sustav, izmodeliraju ga i prouče.To je jednostavno bilo nužno da bi se uopće moglo bilo što zaključiti o sustavu. Tek su se pojavom računala nelinearni sustavi počeli detaljnije proučavati. I onda se desilo…

Kako je determinizam eksplodirao

Vratimo se opet našem planetu. Zamislimo da ste dobili podatke koji su točni na prvih 15 decimala. Trebate tu gomilu podataka utipkati u računalo kako bi ih ono provrtilo kroz čudesne jednadžbe. Trenutno vam je dostupno računalo koje može podnijeti brojeve sa samo 6 decimala. Šef vam sjedi na vratu i želi barem preliminarni izvještaj danas popodne. Pa što ako radite sa samo šest decimala? Stoljetno znanstveno iskustvo vam govori da će rezultati biti malo neprecizni, ali dat će barem kakvu takvu sliku o tom planetu. Sigurno dovoljno podataka da isplanirate sljedeću misiju sonde na njega. Krenete na posao i izvješće je začas gotovo, počinje planiranje. Kako to obično biva, tek nekoliko tjedana prije lansiranja shvatite da još uvijek radite s preliminarnim podacima. Nije neki problem, napravit ćete novi proračun, podesiti parametre lansirnog sustava i eventualno pomaknut lansiranje za par sati, dana ili tjedana. Napravite proračun, sada sa svih 15 decimala. Kabooom!!! Vaš planet će se u trenutku prolaska letjelice zapravo nalaziti u potpuno drugoj galaksiji. A vaša letjelica će jedino moći krenuti putem Voyagera. Osim ako u sljedećih par tjedana netko ne napravi više taj warp ili kak se već zove… Projekt vrijedan milijarde dolara možete baciti u smeće. Naime, planet će se prema ovim proračunima vratiti na željeno mjesto tek za 150 000 godina. Što se desilo?

Karikiram, ali nešto slično se desilo. Nije doduše pobjegao planet. Pobjegao je uragan.

Gospodin Lorenz, meteorolog, je napravio jednostavan računalni model vremena. S obzirom da je bio temeljen na tek nekoliko ekstremno pojednostavljenih jednadžbi očekivano je bilo da će se ponašati predvidljivo.Sat vremena kiše, sat vremena sunca, sat vremena snijega, pa opet ispočetka.

Problem je što se model nije ponašao pristojno. Nekoliko jednostavnih jednadžbi generiralo je takvo bogatstvo vremenskih uvjeta da su se nakon nekoliko dana rada počele vrtiti oklade među fizičarima istog zavoda na temu kakvo će vrijeme biti sutra. Nakon isključivanja pogreški u samom modelu i opremi te eventualne neslane šale, Lorenz je napokon uvidio gdje je bila pogreška. Stvar je zahtijevala da na dnevnoj bazi upisujete rezultate prethodnog proračuna u računalo kako biste pokrenuli novi proračun. Lorenz je jednostavno fulao na par decimala pri tipkanju.

E sad, normalan čovjek bi prepisao te decimale kako treba i nastavio proučavati svoj model te pokušao donijeti neke zaključke na osnovu predvidljivog ponašanja modela. Lorenza je ipak kopkalo nešto drugo. Ako je razlika na tek trećoj decimali, zašto se sustav ponaša tako ekstremno drugačije? Prema determinističkom stajalištu, ako se promijenili treću decimalu pogriješili ste za tisućinku pa bi prema tome i rezultat trebao biti, ako ne isti, a onda jako blizak prethodno dobivenom. Lorenzov se model pak nije ponašao ni približno tako. Ukratko, nekoliko malih decimala i sustav bi odabrao posve slučajnu i potpuno nepredviđenu fazu. Očekivali biste maestral, a sustav bi vam dao uragan.

Lorenz je jedan od pionira u području determinističkog kaosa. Ono što je on otkrio na svom modelu je manifestacija osnovnog svojstva nelinearnih dinamičkih sustava. Za tu nepristojnost postoji ipak malo ljepše ima: preosjetljivost na početne uvjete. Što je to? Pa upravo ono što sam u gornjoj karikaturi opisao i što se Lorenzu dogodilo na njegovoj igrački. Mala promjena u početnim uvjetima, daje drastično drugačiji rezultat. I sve to u okviru potpuno determinističkih jednadžbi. Da ponovim: zadate determinističku jednadžbu koja bi uvijek trebala dati približno isti rezultat za približno iste početne uvjete. Umjesto toga, deterministička jednadžba vam generira rezultat koji ste isto tako mogli dobiti potpuno slučajnim odabirom. Kao da 2+2 ne da uvijek četiri. Želite poslati letjelicu na Mars? Odaberite slučajno neki datum lansiranja; poštedit ćete nas mukotrpnog računanja koje bi vam na kraju dalo isto tako potpuno slučajan rezultat…

Realnost determinističkog kaosa

Posljedica preosjetljivosti na početne uvjete ubrzo je dobila svoje ime. Kako to često biva, krštena je prije nego ju se upoznalo. Danas se smatra kako je kaos nesretno odabran pojam, ali više nema pomoći, ime je ostalo. Sustav koji se u jednom trenutku ponaša predvidljivo odjednom manifestira stanja koja su:

1. nepredviđena i neočekivana
2. gotovo potpuno slučajna

naziva se kaotičnim, a sama pojava deterministički kaos. Znam, izgleda kao da su deterministički kaos i preosjetljivost na početne uvjete sinonimi. Činjenica je da se često kao sinonimi i koriste…

Lorenz nije bio prvi koji je otkrio ovo neobično ponašanje, ali je bio među prvima koji su ga krenuli detaljnije proučavati. Osim što je otkrio da jedan savršeno predvidljiv sustav generira potpuni kaos, Lorenz je napravio i korak više. Ne samo da je stoljećima poznat red u obliku dobrih starih diferencijalnih jednadžbi generirao kaos. Stvar je bila još zanimljivija: unutar kaosa generirao se red.

Zamislimo za početak da se cijelo stanje Lorenzovog modela u jednom trenutku može reprezentirati jednom jedinom točkom u 3D Kartezijevom sustavu. Ako bismo sada promatrali kroz vrijeme kako sustav evoluira i bilježiti npr. svake sekunde jednu točku, te točke bi se počele pojavljivati potpuno slučajno u prostoru. Međutim, ako bismo to radili duže vrijeme počela bi se oblikovati do tada neviđena i neobična krivulja koja izgleda ovako:

Krivulja je danas poznata kao Lorenzov atraktor. Jedna je od mnogih (kasnije otkrivenih i u drugim sustavima) kaotičnih atraktora. Beskonačno je dugačka, ekstremno složena, iako se čini da teži tome da se zgusne u jednu jedinu crtu zapravo nikada samu sebe ne presijeca. Teško bi je bilo moguće vidjeti bez da je se generira računalom i (moram li to reći) ima fraktalna svojstva (Uzmite jedan komadić slike i povećajte ga u smislu da ponovite proračun sa većom preciznošću, na više decimala. Ono što ćete dobiti je niz krivulja unutar prostora u kojem bi trebalo biti samo nekoliko crta.)

Lorenzova genijalnost nije bila zadovoljena otkrićem kaosa u postojećem redu. Da je tu stao ostale bi godine i godine čuđenja kad god bi se otkrilo da neki dobro poznat sustav manifestira kaos čim mu se pruži prilika za to, ali to bi bilo sve. On je napravio korak dalje. Otkrio je red unutar kaosa. Taj red je bio sve samo ne deterministički. I taj red je generirao malu klasu lijepo uređenih sustava koji su pružali zabavu znatiželjnim umovima kroz cijelu povijest znanosti. Bilo je to kao da mu se pred očima otvorio potpuno novi, nikad viđeni svemir.

Novi pogled

Danas se općenito smatra kako je red u onim procesima koje smo proučavali sve do polovice prošlog stoljeća samo izolirani djelić kaosa. Determinizam je doživio svoj krah, barem u smislu snažnog, općeg determinističkog načela. Kaos je realnost u kojoj živimo (bez anarhističkih indicija molim) i počinje pronalaziti stvarnu primjenu. Sustavi koje smo do sada proučavali imaju puno širi aspekt. Onaj djelić koji o njima znamo je malen i često nedostatan za potpuno razumijevanje pojave. To ne znači da je naše dosadašnje znanje pogrešno, ali je zasigurno ograničeno. Zamislite kakve bi romane mogao napisati Tolstoj da je od cijelog jezika poznavao samo točku. Niti jedno slovo, a kamoli riječ. Samo jednu točku… Toliko je mala i ograničena slika potpuno uređenog determinističkog kozmosa naspram onog njegovog djela koji čine kaotične manifestacije u njemu. Stoljećima smo se trudili isključiti nelinearnost iz naših teorija i modela. Pripisivali smo je nesavršenosti naših osjetila, mjernih uređaja i numerike. Sve to nije bilo dovoljno da bismo joj pobjegli. Otkrićem kaotičnog kozmosa napokon su nam širom otvorene oči. Kažu da nije dovoljno samo gledati da bi se vidjelo. Ali i to je dobar početak…

Mala povijest determinističkog kaosa (II.)

…nastavak članka “Mala povijest determinističkog kaosa (I.) “…

Početak krize: Heisenbergovo načelo neodređenosti

Kad je Max Planck objavio svoje radove rođena je nova znanstvena disciplina, kvantna mehanika. Daljnjim proučavanjem došlo se do nevjerojatnih rezultata, nepojmljivih ljudskoj intuiciji. Naša osjetila, naša logika i naš matematički zor bili su nemoćni pred neobičnim ponašanjem subatomskog svijeta. Ipak, ma kako nezamislivi bili, ti rezultati su realni.

Jedan od najpoznatijih postulata potekao iz te branše je upravo Heisenbergovo načelo neodređenosti. Ono pojednostavljeno kaže da ako s velikom preciznošću mjerimo (ili čak definiramo) položaj neke čestice (npr. elektrona) tada preciznost kojom možemo znati njenu brzinu u istom trenutku opada. Ovo ne ovisi o tome imamo li ne znam kako naprednu tehnologiju mjerenja ili ne znam što… To je jednostavno činjenica koja je ugrađena u subatomski svijet. Naglašavam da to nije stvar mjerenja: čak i u čisto teoretskom modelu beskrajno preciznih veličina nije moguće definirati dvije karakteristike iste čestice s beskrajnom točnošću. Ako jednu od njih dobijete potpuno točnu, druga veličina će biti toliko netočna da ste je isto tako mogli slučajno odabrati.

Fight the quantuum evil!!! 

Striček Einstein je prvi ukazao na to da postignuća kvantne mehanike prijete općem determinizmu i pokušao dati alternativno tumačenje rezultata kvantne mehanike. Koliko za sada znamo, ovo je jedna od stvari kod kojih nije bio u pravu.

U današnje doba zanimljivo je spomenuti i Hawkingovu formulaciju iz “Kratke povijesti vremena”. Hawking ukratko kaže kako problem s neodređenošću dolazi do izražaja u trenutku kad valove pokušamo interpretirati u terminima brzine i položaja čestica. Kad bismo pretpostavili postojanje isključivo jednog oblika (vala?) i kad ga ne bi pokušali prilagoditi (interpretirati) kategoriji zamišljene čestice, problem s neodređenošću bi nestao. Hawking dakle ne negira neodređenost, ali joj daje relativni karakter. Promatra je kao pogrešku promatrača (nas) koji nije u stanju percipirati stvarno stanje stvari.

Kopenhagenško tumačenje (koje se često poistovjećuje s Heisenbergovim načelom i koje Einstein nije prihvatio) jednostavno kaže da na elementarnoj (subatomskoj) razini, kozmos ne postoji u determinističkoj formi već kao skup vjerojatnosti. Kvantna mehanika je dakle u stanju izračunati i predvidjeti ponašanje skupa nekoliko tisuća fotona, ali nije u stanju dati odgovor na pitanje o putanji svakog pojedinog fotona u tom skupu. Što nam to govori? Jednostavno je: beskonačno precizni početni uvjeti nisu ostvarivi. Jedan od postulata determinizma je ugrožen.

Kriza ipak nije bila sveopća. Kvantnomehanička načela i rezultati su jako važni na subatomskoj razini ali gube značaj u makro svijetu. U makro svijetu su ti utjecaji dovoljno maleni da bi bili zanemarivi. Determinizam je generalno sačuvan. Dodavanje na ignore listu još jedne sitnice ne mijenja bitno makroskopsku sliku kozmosa. Beskonačno točni početni uvjeti su nešto bez čega se može. Determinizam i počiva na činjenici da se bez njih mogu dobiti dovoljno precizni (upotrebljivi) rezultati.

Determinizam je preživio…

Kvantna mehanika je potresla determinističko poimanje kozmosa. Unatoč tome što je dala velike i bitne rezultate, dan danas je mnogi laici smatraju znanstvenom fantastikom, matematičkom tvorevinom bez temelja u prirodnom svijetu. To je dijelom zbog činjenice da se njeni rezultati često kose sa zdravim razumom, a dijelom zbog izrazite kompleksnosti predmeta koja obeshrabruje sve osim najupornijih. Ipak sama postignuća na tom polju nisu bitno uzdrmala sliku makro svemira. Stvari koje se događaju na kvantnoj razini često nemaju izravno opazivu posljedicu na makro razini. Jednadžbe koje koristimo na makro razini daju i dalje upotrebljive rezultate. Kad se ti rezultati ne poklope potpuno sa stvarnima,  često se desi da je objašnjenje za tu nepreciznost moguće pronaći na kvantnoj razini. Ispada da unatoč izrazito nedeterminističkoj slici kvantnog svemira, naš veliki svemir funkcionira deterministički. Nevjerojatna je činjenica da bilijarde harmoničkih oscilatora u jednom trenutku sinkroniziraju svoje vjerojatnosti i krenu svi jednim te istim putem te stvore uređene strukture koje je moguće opaziti na makro razini. I još k tome da te strukture budu stabilne i razvijaju stabilne i trajne veze među sobom koje se manifestiraju determinističkim ponašanjem ukupnog kozmosa. Vidjet ćemo da tome nije baš tako. Red je samo izolirana i sićušna pojava u moru kaosa.

…to be kontinjued…

Mala povijest determinističkog kaosa (I.)

“Da bismo biljarskom kuglom pogodili rupu ne moramo uzeti u obzir utjecaj pada lista s drveta na planetu u drugoj galaksiji”

Da bismo shvatili što je to deterministički kaos, potrebno je prvo definirati pojam znanstvenog determinizma. Kako je determinizam najlakše objasniti primjerom i kako se ovaj pojam često dovodi u vezu s Newtonovom fizikom upotrijebit ću oboje istovremeno.

Deterministički princip u sebi sadrži aksiom predvidljivosti. Promatrate nekakav planet koji se giba oko zvijezde. Izmjerite mase u sustavu, radijus putanje i ostale parametre. Napišete jednadžbu gibanja u skladu s Newtonovim zakonima. Rješenje jednadžbe je takvo da vam omogućuje predviđanje položaja, brzine i smjera kretanja promatranog planeta. Ne samo to. Vi možete izračunati gdje će taj planet biti za 10.000 godina (u slučaju da ga prije toga ne okine golemi asteroid i smrvi u prašinu). Sve što trebate za taj proračun je izmjeriti gdje se planet trenutno nalazi i koja mu je brzina, a jednadžba gibanja vam onda daje cijelu povijest tog planeta, dakle, ne samo gdje će se nalaziti već i gdje se nalazio. Vrijeme je varijabla koju sami možete namještati.

S obzirom na matematičku eleganciju, jednostavnost i dobro poklapanje s stvarnim stanjem stvari, Newtonova fizika bila je revolucija u znanosti. Ubrzo se raširilo uvjerenje da, kad bi bilo moguće u jednom trenutku zabilježiti sve nužne podatke o položaju i brzini svih čestica u kozmosu, ispisati sve jednadžbe gibanja i riješiti ih, tada bi bilo moguće izračunati cijelu povijest kozmosa (naravno, uz pretpostavku da je kozmos idealni zatvoreni sustav. To znači, nema vanjskih utjecaja na njega, utjecaja poput onog asteroida iz prethodnog primjera.). Biće koje bi bilo sposobno za takav pothvat naziva se Laplaceovim demonom.

Naravno, ne pričam to mitologije radi. Uvjerenje da je cijeli kozmos određen kretanjem svojih masa, nepromjenjiv: to je temelj determinističkog shvaćanja. Kozmos je poput savršenog sata, jednom navijen, dalje se razvija i kreće u samo jednom smjeru koji je određen zakonima Newtonove fizike. Od svih mogućih povijesti koje su mogle postojati prije nego je svemir nastao, sada je samo jedna moguća, a tu povijest određuju početni uvjeti, stanja koja su postavljena samim nastankom.

Ovo načelo nepromjenjivosti ide još i dalje. Vratimo se na naš planet. Recimo da ste astronom u 18. st. Izmjerite parametre za svoj planet (tzv. početne uvjete) i ubacite u čudesnu jednadžbu. Izračunate gdje će se planet nalaziti za mjesec dana. Pogledate nakon mjesec dana i vidite da ste fulali za 100 km. Za astronomske razmjere, pogodili ste nogometnom loptom ušicu igle koja se nalazi s druge strane Atlantika. Sada promijenimo ulogu. Nalazite se u 20. st. Želite na taj planet spustiti nekakvu sondu. S obzirom da imate bolje teleskope i mjerne uređaje, nećete koristiti početne uvjete vašeg 200. g. starijeg kolege. Izmjeriti ćete ih sami. Preciznije. Ubacite u jednadžbu. Napravite proračun položaja planeta i fulate za možda nekoliko metara. Ovo je očekivano. Naime, prešutno se uzimalo točnim da ako imate preciznije podatke o početnim uvjetima, tada će i izračunati rezultat biti precizniji. Naglašavam, precizniji, ali nikako drastično drugačiji od prethodnog rezultata. Drugo bitno uvjerenje sadržano u determinističkom stajalištu je sljedeće: ako bismo znali početne uvjete na beskonačno decimala točno, tada bi i naši rezultati bili beskonačno točni, tj. potpuno bi se poklapali sa stvarnim stanjem sustava koji pokušavamo opisati. Ako postoji netočnost u rezultatima, ona je posljedica nesavršenosti mjerenja, a ne nesavršenosti Newtonovih zakona.

Nezamislivo je da astronom u 20. st. zbog preciznijih podataka dobije da se planet nalazi u sasvim drugoj galaksiji i kruži oko sasvim drugog sunca. Ako dobije takav rezultat mora da je negdje pogriješio u računu, neki broj krivo prepisao, krivo stisnuo tipku na kalkulatoru… Uglavnom, ako se desi takva pojava greška je sigurno u promatraču, kozmos se ne ponaša tako bezobrazno. Nekoliko decimala sim ili tam ne mijenja drastično rezultat. Ili možda ne?

Za kraj, još bih jednom ponovio dva najvažnija načela sadržana u determinističkom stajalištu. Ako zbog ničeg drugog, onda u slavu višestoljetne zablude koju su ona predstavljala:

1. Kozmos je determiniran. Ako poznajemo početne uvjete i zakonitosti u nekom sustavu, tada načelno poznajemo cijelu povijest tog sustava.
2. Deterministički sustav se uvijek ponaša jednako. Newtonovi zakoni daju uvijek jednak rezultat. Pogreške koje nastaju su posljedica nesavršenosti u početnim uvjeta, a ne nesavršenosti zakonitosti samih.

to bi kontinjued…

Kochova pahuljica - čudovište zarobljeno unutar savršenstva

Da ste kojim slučajem rođeni početkom dvadesetog stoljeća i da ste se u životu odlučili baviti matematikom tada biste se prije ili poslije susreli s jednim novootkrivenim čudovištem. Tadašnja matematika vam ne bi mogla dati odgovore koje biste tražili ako biste ih se i usudili tražiti. Naime, postojale su i zanimljivije teme za istraživanje u to doba, a pokušati definirati i objasniti jednu ovakvu (naizgled) kontradiktornu konstrukciju smatralo se gubitkom vremena i općenito lošim ukusom. Kako je općenito poznato, loš ukus se ne smije tolerirati.

Rođenje čudovišta

Kao i za sve velike događaje, tako je i za ovaj poznata samo približna vremenska koordinata. Naime, po dostupnim podacima evidentno je da se događaj zbio 1904. godine. No, točan trenutak rođenja ove bizarne ideje nije poznat a najvjerojatnije nije bio poznat ni onom tko ju je iznašao (pitanje bi li povijest bila zanimljivija i općenito bolja kad bi se pamtile takve točne vremenske koordinate je za relevantno samo cinicima i onima koji znaju nešto o fizikalnoj nemogućnosti mjerenja takvih koordinata pa ga ovdje neću produbljivati). Daklem, 1904. godine švedski matematičar Helge von Koch je opisao postupak za dobivanje i uzgoj vlastitih čudovišta (u dokumentu naslovljenom “Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire”). Ono što je predložio mogao je izvesti svatko s malo papira, škarama ili besposlenim mozgom koji ima kakvu-takvu mogućnost vizualizacije. Koch je svoje otkriće smatrao zanimljivom matematičkom dosjetkom. Tek će šezdesetak godina poslije jedan matematičar povući neobičnu paralelu koja povezuje naše čudovište s obalom Velike Britanije i time otvoriti put revoluciji. To je pak tema jednog od sljedećih članaka…

Kak to zgleda?

Postupak je prilično jednostavan. Počnete od svima poznatog i nimalo neobičnog jednakostraničnog trokuta. Uklonite srednju trećinu svake stranice. Na prazna mjesta dodate novi jednakostranični trokut. Uklonite bazu dodanog trokuta. Ponavljate postupak dok je svijeta i vijeka i još malo poslije (tj. beskonačno) za svaki trokut koji vidite. Rezultat prvih nekoliko koraka je prikazan na sljedećoj slici:

Nije strašno, zar ne? Ne tresu vam se gaće? Ne razmišljate o tome da ugasite komp i prošećete malo po kvartu sa psom pretresajući pitanje o životu svemiru i svemu ostalom? Nisam ni mislio, ali strahote tek počinju…

Prvo lagano pitanje…

Koliki je opseg naše krivulje? Ovaj izračun nije teško napraviti. Neka je n broj iteracijskih koraka. Tada u svakom koraku možemo definirati sljedeče veličine:

• = Broj stranica u svakom n-tom koraku
• = duljina jedne stranice u n-tom koraku
• Opseg krivulje nakon n koraka =

Iz slike je vidljivo da nakon svake iteracije broj stranica poraste za faktor 4.
Ako duljinu stranice početnog trokuta označimo s , onda je a . Nadalje, u svakom koraku je duljina stranice manja za faktor 1/3 od stranice prethodnom koraku, tj. vrijedi da je Dakle, opseg krivulje je

odnosno

Prevedeno na jezik običnih ljudi, opseg krivulje nakon beskonačno mnogo koraka je - beskonačan.

Drugo lagano pitanje …

Kolika je površina koju zatvara Kochova pahuljica? Označimo za početak površinu polaznog istostraničnog trokuta kao:

Kako se u svakom koraku iteracije dodaju”mali” trokuti na postojeću površinu i kako je duljina stranice svakog takvog”malo” trokuta 1/3 puta manja od stranice u prethodnom koraku, površina tog malog trokuta u n-tom iteracijskom koraku iznosi:

Koliko takvih trokuta dodajemo? Iz slike se vidi da (ako je n redni broj koraka iteracije) vrijedi:

dodanih “malih” trokuta. Stoga možemo pisati:

Ako raspišemo prvih nekoliko članova dobivene formule može se vidjeti da je konačni oblik zapravo:

Odnosno:

Na kraju vidimo da je površina nakon beskonačno mnogo koraka - konačna. Nije vam se upalila lampica? Još uvijek bezbrižno čitate?

Zaključak od kojeg se tresu gaće

Kochova pahuljica na jednostavan način demonstrira jedno od poznatih svojstava fraktala. Beskonačno dugačka granica zatvara konačnu površinu. Ovakvi objekti su početkom prošlog stoljeća izazivali pomutnju među matematičarima ali sve do pedesetih godina istog stoljeća nisu imali široki krug proučavatelja. Dijelom zato jer nitko nije uvidio da postoji veza među mnogim takvim objektima (da, čudovište nije jedino!!!), a drugim dijelom zato što je tadašnja matematika bila zaposlena pokušajima restrukturiranja samih svojih temelja koji su se pokazali problematičnima (npr. 1902.g. Rusellov paradoks) pa su se ove stvari činile egzotične i trenutno irelevantne.

Čudovište je jedan od najstarijih poznatih fraktala. Paradoks konačne površine omeđene beskonačno dugom krivuljom rješen je otprilike istovremeno kad je nastao pojam fraktal. Nakon što je Madelbrot definirao objekte koji mogu imati decimalnu dimenziju i nazvao ih fraktalima, pokazano je da dimenzija Kochove pahuljice iznosi približno 1.26. O fraktalnim dimenzijama u jednom od sljedećih članaka…

I zanimljivost za kraj

Stari Grci su prvi javno priznali ono što se prešutno smatralo istinom tisućama godina prije njih: kružnica je savršen geometrijski lik. Kakve to veze ima? Prvo, površina koju zatvara Kochova pahuljica je u svakom koraku iteracije veća od površine inicijalnog trokuta. Postoji li gornja granica? Naravno, inače površina ne bi bila konačan broj. Uglavnom, može se pokazati da je dana površina uvijek manja od površine inicijalnom trokutu opisane kružnice. I ne samo to: Sama krivulja nikada ne prelazi granicu te kružnice. Beskonačno dugačka krivulja zarobljena je konačno dugačkom i još k tome savršenom krivuljom: kružnicom. Da se čovjek zamisli…

Reference

• Fractal math patterns
• Wolfram Mathworld
• Maths.org
• Nonscience.info