4.669201609102990 (III.)

…nastavak članka “4.669201609102990 (II.)“…

Logističko preslikavanje je pokazalo nevjerojatno bogatstvo dinamičkih pojava. Sustav opisan tim modelom (u ovom slučaju populacija bioloških jedinki) prolazi kroz sve faze koje dinamički sustav može manifestirati. Počinje sa stabilnim fiksnim točkama (točkasti atraktori), preko stabilnih graničnih ciklusa (koje karakterizira kvaziperiodičko titranje u dvije faze: prijelazno stanje i periodičko titranje) te na koncu završava u kaosu uz tipična svojstva koja ga obilježavaju: nepredvidljivost vremenskih nizova i preosjetljivost na početne uvjete. To još uvijek nije sve. Kako ću sada pokazati, ova mala i jednostavna jednadžba manifestira još jedno, možda i najfascinantnije svojstvo kaosa: red.

Bifurkacijski dijagram

Kad je Robertu Mayu postalo jasno da je u režimu kaosa nemoguće vidjeti bilo što gledajući samo pojedine vremenske nizove, pokušao je dobiti širu sliku sustava… Kao što sam pokazao, nije toliko bitno iz koje točke krenete već je bitno koliko je parametar te gdje ste uz takav parametar završili (u jednoj točki, graničnom ciklusu ili kaosu). To se može sumarizirati na jednom jedinom dijagramu. Takav dijagram onda daje sliku sustava za sve .

Princip je sljedeći. Na x-os nanosite vrijednost biotičkog potencijala. Za svaku točku na x-u izračunate vremenski niz vrijednosti populacije. Ako za dobijete jednu stabilnu vrijednost ucrtate nju, ako dobijete periodički niz ucrtate sve vrijednosti niza iznad te točke na x-u… Uglavnom, dobijete nešto ovakvo:

Dijagram se naziva bifurakcijski dijagram, a proces grananja fiksnih točaka ovisno o nekom parametru bifurkacija.

• Za Postoji samo jedna fiksna točka - populacija izumire.
• Za populacija ima također jednu fiksnu točku - preživljavanje
• U dolazi do prvog pucanja: pojavljuje se atraktor perioda 2, tj. populacija sada ima dvije fiksne točke. Povećanjem period oscilacije postaje sve duži i duži.
• U period se, nakon što se rastegnuo koliko god je mogao, udvostručuje te imamo atraktor perioda 4.
• U području kaosa za , x za dani r prolazi kroz praktički sve vrijednosti nekog pod intervala intervala [0, 1].

Oke, ništa što do sada nismo znali, zar ne? Dakle, povećanjem dolazi do višestrukih udvostručenja perioda atraktora. Negdje oko odjednom stvar pukne i nađemo se u kaosu. Sada bismo očekivali da stvar bude jednostavna. Daljnjim povećanjem perioda, sustav postaje sve kaotičniji. Na krajnjoj vrijednosti od , x prelazi preko svih vrijednosti u intervalu [0,1]: cijeli interval je postao atraktor.

Kaskade perioda 3

Neće ići. Pojavljuju se praznine u dijagramu. Što one znače? Pokušajte dobiti vremenski niz s parametrom 3,835 (duboko u kaotičnom području) i voila:

granični ciklus perioda tri, populacija stabilno titra između tri vrijednosti zauvijek:

Kaosa kao da i nije bilo… Daljnjim povećanjem r ovo titranje prolazi sve faze udvostručenja perioda, pojavljuju se atraktori perioda 6, 12, 24,… Na kraju opet završi u kaosu. To je značenje bijelih pruga u sivim vrpcama kaosa. Sustav ne samo da prelazi iz reda u kaos, nego se duboko u režimu kaosa nalaze mali prozori reda. Kaos i red se izmjenjuju u neobičnoj igri. No, ni to još nisu sva iznenađenja koja nam je kaotični majmun pripremio…

Fraktalna svojstva bifurkacijskog dijagrama

Da bi se dobila još bolja slika sustava nije dovoljno samo povećavati biotički potencijal. Treba ga povećavati u sve sitnijim koracima. To je pak ekvivalentno tome da uzmete komadić gornjeg dijagrama, izrežete ga i povećate. Sada umjesto da promatrate r na intervalu [0, 4] gledate na intervalu npr. [3, 3.5]… Ili možda na intervalu [3.5678943, 3.5678945]… Danas, uz pomoć računala, to je relativno jednostavan posao. U doba Maya i Feigenbauma to je bio posao od par dana/tjedana čačkanja po kalkulatoru, računanja vremenskih nizova i ucrtavanja rezultata na dijagram… Nije da nisu imali računala, ali uz to što su bila spora, pristup njima je bio vremenski ograničen i većina se znanstvenika umjesto da čeka svojih par sati u danu (ili čak tjednu) pristupa računalu, i dalje služila puno pristupačnijom metodom: kalkulatorom, olovkom i papirom.

Ako dakle napravite dijagram za podinterval intervala vrijednosti dobijete nešto ovakvo:

Nad nekim podintervalom intervala [0, 4] rekonstruirani bifurkacijski dijagram ima gotovo potpuno isti izgled. Takvo zoomiranje se naravno može nastaviti u nedogled jer se zasniva čisto na računanju sa sve više i više decimalnih mjesta, a ne na fizičkom povećanju slike. Riječ je samo o tome koliko jako računalo imate ili, u neka davna vremena koliko strpljenja s kalkulatorom imate…

Izrazita samosličnost, zadržavanje oblika bez obzira na skalu (povećanje)… Naravno, bifurkacijski dijagram je fraktal. Fraktali->kaos->fraktali->kaos…. jedno ne ide bez drugoga…

Početak igre velikog igrača…

Malo povijesti. Robert May je 1971. g. proučavao logističko preslikavanje kao mogući model ponašanja populacije bioloških jedinki. Uz njega su iste godine još trojica znanstvenika (Nicholas Metrropolis, Paul Stein i Myron Stein) radili na istoj stvari i otkrili začuđujuću kompleksnost ove male jednadžbe. Feigenbaum se s druge strane interesirao za nelinearne probleme. Do tada je već isprobao sve poznate pristupe nelinearnosti, međutim nijedan mu se nije činio zadovoljavajući. Paul Stein ga je obavijestio o otkrićima vezanima uz populacijsku jednadžbu. Feigenbaum je smatrao kako su stvari postale još gore: “Ako je najjednostavnije nelinearno preslikavanje praktički neshvatljivo, kakve onda nade ima za realističnu nelinearnu dinamiku?”

Prikaz dinamičkog sustava pomoću bifurkacijskog dijagrama odigrati će ključnu ulogu u Feigenbaumovom radu… Pokušavajući nastaviti tamo gdje je May stao, Feigenbaum je prvo počeo crtati to čudesno smokvino stablo… Naravno, trebale su mu brojke. Nije bilo tako lako dobiti pristup računalu, a njegov kalkulator, iako ga je bilo moguće programirati, je radio prilično sporo… Trebalo je nekako ubiti vrijeme dok je čekao da se iskristalizira sljedeća točka na bifurkacijskom dijagramu… Sam dijagram i ovo“ubijanje vremena” biti će ključni za Feigenbaumovo otkriće…

…to be kontinjued…