4.669201609102990 (II.)

…nastavak članka “4.669201609102990 (I.)“…

Vidjeli smo do sada da jednostavna (ali nelinearna) jednadžba zvana logističko preslikavanje može biti korištena kao grub ali prilično ilustrativan model pri proučavanju populacijske dinamike:

Kao i kod svih dinamičkih sustava, zanima nas (dugoročno) predviđanje ponašanja konkretnog sustava za različite početne uvjete. Sustav smo konkretizirali odabirom parametra rasta populacije (, poznat još i pod imenom biotički potencijal) te smo odabirom početnih uvjeta () promatrali ponašanje sustava u diskretnim vremenskim razmacima iterirajući danu jednadžbu.

Mogli smo opaziti da bez obzira na početne uvjete sustav uvijek završi u jednom od dva stabilna stanja: populacija ili preživi ili izumre. Naš dinamički sustav se ponaša potpuno deterministički. Sada ćemo vidjeti da stvari postaju malo složenije. Ako dopustimo da biotički potencijal naraste iznad 3, stvari se polako otimaju kontroli…

U početku bijaše…manje od 3

Podsjetimo se. Za bilo koju vrijednost parametra između 0 i 3, populacija će se stabilizirati na nekoj vrijednosti ovisnoj samo o (ne i o ). Grafički, za jedan takav sustav, to izgleda ovako:

Može se pokazati da vrijedi sljedeći teorem.

TM1 Logističko preslikavanje ima dvije fiksne točke. (fiksna točka nekog preslikavanja je točka koja se preslikava sama u sebe, tj. vrijedi )

dokaz Uvjet da bi naša jednadžba imala fiksnu točku glasi:

Nakon što malo raspišemo dobivamo:

Iz čega direktno slijede rješenja kao sljedeće dvije točke i

QED

Vidimo da druga fiksna točka postoji samo ako je r > 1 jer u protivnom fiksna točka postaje negativan broj koji nije dio domene logističkog preslikavanja (striktno govoreći jest, ali se ne uzima jer nema fizikalnog značenja - populacija ne može biti negativna).

Uvedimo sada pojam stabilnosti fiksne točke. Da bismo odredili stabilnost neke točke preslikavanja moramo promatrati ponašanje prve derivacije danog preslikavanja u točki kojoj želimo provjeriti stabilnost. Za fiksnu točku x preslikavanja f vrijedi sljedeće:

• |f’ (x)| < 1 - stabilna Stabilne fiksne točke signaliziraju mogućnost dugoročnog predviđanja. Fizikalno predstavljaju mjesta nečeg što je poznato kao termin stabilne ravnoteže. Analogija s kuglicom na dnu zdjele: ako malo pomaknete kuglicu ona se zakotrlja i opet vrati na dno zdjele. Analogija s tekućinom: stabilne točke se nazivaju i ponorima - tekućina utječe u njih. Kako se stabilne fiksne točke ponašaju poput magneta za sve oko njih, iz latinskog je preuzet naziv koji se u dinamici često rabi: atraktori.
• |f’ (x)| > 1 - nestabilna Nestabilne fiksne točke. Analogne su pojmu labilne ravnoteže. Dokle god se nalazite u samoj nestabilnoj točki ne idete nikamo. Međutim, minimalni pomak u okolinu te točke rezultira nepovratnim udaljavanjem od nje. Ovo se može zamisliti kao kuglica na brežuljku: može se postići da stoji na njemu ali i najmanji pomak i ona se kotrlja prema dnu - sama od sebe neće se vratiti natrag u ravnotežno stanje na vrhu brežuljka. U analogiji s fluidima, ovakve točke se nazivaju izvorima.

mala napomena: Ovo nije potpuna karakterizacija fiksnih točaka. Ovim problemom se bavio i elegantno ga riješio (za dvije dimenzije) Poincare. U jednom od sljedećih članaka ću to obraditi…

Malo računanja nam daje sljedeće:

• je stabilna za
• je stabilna za

Stabilnost danih fiksnih točaka se manifestira upravo u činjenici da za bilo koji početni uvjet naš sustav (prije ili kasnije) završi na kraju u jednoj od tih točaka (pod uvjetom da je i biotički potencijal unutar zadanih vrijednosti).

Geometrijska interpretacija

Uz čisto numeričko iteriranje naše funkcije, postoji još jedan, geometrijski način da se promatra iteracija . To je metoda pomoću tzv. paučinastih dijagrama. prednost ove metode je ilustrativnost i elegancija iz čega je uvijek lakše nešto zaključiti nego kada baratate hrpom suhih brojaka.

Ideja je sljedeća. Znamo da je . To znači da moramo na horizontalnu os nanijeti točku i iz nje krenuti vertikalno dok ne udarimo u graf funkcije . Sada tako dobivena vrijednost mora biti ponovo nanesena na horizontalnu os kako bi se mogla upotrijebiti za novu iteraciju. Najlakši (!?) način da y-vrijednosti ponovo nanesemo na x-os je da presavijemo x-y ravninu oko pravca y=x. Iz ovoga su ljudi napravili sljedeći algoritam za iteriranje našeg preslikavanja:

• počni s na x-osi
• crtaj vertikalnu liniju dok ne udariš graf funkcije f(x)
• pomakni se horizontalno do pravca y=x
• pomakni se vertikalno (gore ili dolje) do grafa f(x)
• ponavljaj zadnja dva koraka generirajući nove točke

Zbunjeni? Izgleda vrlo jednostavno jednom kad se nacrta:

Odmah se vidi da (u okviru zadanog r) ovaj sustav ima jedan točkasti atraktor.

Nešto je u broju 3: put u kaos

Počnimo sada polako povećavati biotički potencijal iznad brojke 3. Dešava se nešto neobično. Sustav je izbačen iz ravnoteže i traži novi ravnotežni položaj. Za i nakon početne nestabilnosti niz brojeva izgleda ovako:

tj. sustav ulazi u stabilnu oscilaciju između dva broja ili, kako se to češće kaže sustav oscilira s periodom 2:

 

Što se tu zapravo desilo? Fiksne točke i dalje postoje. Ako sustav krene iz jedne fiksne točke, uopće neće doći do oscilacije. populacija se neće uopće mijenjati s vremenom. Međutim, čim malo odlutate od fiksne točke, sustav odlazi u oscilaciju.

Nastavimo povećavati biotički potencijal. Nakon nekog vremena niz brojeva doživljava još jednu nestabilnost te izgleda ovako:

 

Primjećujete pravilnost? Sustav i dalje pokušava ostati u ravnoteži. Period dva nije više bio dovoljan. Sada populacija oscilira između četiri vrijednost, odnosno s periodom četiri. Period se udvostručio, a atraktor ima četiri točke. Nastavimo li i dalje povećavati biotički potencijal, period titranja se nastavlja udvostručavati. Pojavljuju se atraktori perioda 8, 16, 32, … Međutim, u jednom trenutku stvar pukne:

Period se udvostručio praktički u beskonačnost. U tom trenutku sustav za dva gotovo ista početna uvjeta može dati potpuno različite vremenske nizove (na donjoj slici početni uvjeti se razlikuju za samo 0,001):

Nepravilnost dobivenih vrijednosti iz determinističke jednadžbe. Osjetljivost na početne uvjete. Očito je, ušli smo u područje kaosa.

Što se zapravo desilo? May nije mogao vjerovati. Jedan te isti sustav koji se ponašao tako pristojno jednostavno je poludio. Iz potpuno stabilnog i predvidljivog stanja, preko kvazistabilnog periodičkog, sustav je otišao u nešto što je izgledalo kao hrpa slučajnih brojeva. Vrijednosti koje je dobio nije mogao objasniti. Probao je mnogo simulacija povećavajući biotički potencijal u sve manjim koracima s uvijek istim rezultatom. Bio je zadivljen kompleksnošću koju je dobio. Nije uočio uzorak koji će kasnije postati legendarnim…

Duboko u području kaosa oscilacije izgledaju potpuno nepravilne i nepredvidljive. Ova pojava je dugo vremena bila zanemarivana i nitko se nije ni trudio dublje je proučiti. Pogledate li gornju sliku, to i ne čudi. Tko bi pomislio da ovdje postoji ikakva pravilnost? Kako će se pokazati, sustav i dalje skakuće po “ravnotežnim” stanjima. Ona su neobična, teško ih je na prvi pogled otkriti… Zapravo, populacija i dalje ima atraktor. Samo je malo čudan. Da bi ga se otkrilo bilo je potrebno računalo ili čovjek koji ima volje puno tipkati po kalkulatoru i još k tome malo varati i pokušati razmišljati unaprijed… Nekoliko godina nakon izlaska Mayevog članka, njegov rad dolazi u ruke Feigenbaumu i on shvaća kako je upravo takav primjer tražio da bi mogao započeti svoj rad…

…to be kontinjued…

Reference:

• Interactive Logistic map - nekoliko prekrasnih java apleta koji omogućuju interaktivno istraživanje kako vremenskih nizova tako i paučinastih dijagrama logističkog preslikavanja.
• Logistic Equation: Parable of parabola - Još malo matematičke pozadine logističkog preslikavanja (objašnjenja stabilnosti fiksnih točaka i graničnih ciklusa)
• Razni Java Apleti - vezani uz logističko preslikavanje ali i kaos općenito.
• Introduction to Nonlinear Dynamics in the Logistic Map
• Graphical method explained
• “Simple mathematical models with very complicated dynamics”, Robert M. May