4.669201609102990 (I.)

“Volim oblake… oblake, što prolaze… ondje… divne oblake!”
Charles Baudelaire

Godine 1979. jedan je nadasve neobičan čovjek otkrio nadasve neobičnu činjenicu. Stvar je bila tako malo vjerojatna da ni sam u početku nije vjerovao… U pokušaju dokazivanja onog što mu se na trenutak ukazalo potrošio je mnogo kofeina i nikotina te na kraju gotovo nastradao od iscrpljenosti… Uz dokaz da nije moguće preživjeti mjesece napornog rada koristeći samo kavu, cigarete i džepni kalkulator, pružio je i kvalitativan dokaz jedne neobične matematičke pojave koja se manifestira u svima (ali baš svim!) kaotičnim sustavima. Čovjek se zvao Mitchell Jay Feigenbaum.

Kao jedan od vrhunski američkih fizičara tog vremena, Feigenbaum je radio u kompleksu Los Alamosa. Riječima Iana Stewarta: “Neki od njegovih kolega ne bi se složili s tom riječju - radio - jer nitko nije baš točno znao na čemu to Feigenbaum radi. Čak ni sam Feigenbaum!” Kao dio znanstvene elite tog vremena, bio je oslobođen standardne groze akademskog života: dužnosti da predaje i objavljuje radove. U to vrijeme je fizika čestica bila u zamahu, svi koji su mislili o ikakvoj karijeri u fizici, bavili su se njome. Količina magisterija i doktorata iz tog područja i u to vrijeme bila je ogromna, a Los Alamos je bio jedan od velikih svjetskih centara u kojem su se mogli vršiti eksperimenti i istraživanja tog tipa. Feigenbaum je bio dio svega toga. Često se znalo desiti da mu kolege dođu s nekim problemom koji bi im on pomogao riješiti. Oni koji se tada radili tamo kažu kako je Feigenbaum to radio usputno, pokazujući golemo znanje, ali gotovo nikakav interes za uzbudljiv subatomski svijet. Sam nije započinjao nikakva istraživanja. Ono po čemu je ubrzo nakon dolaska u Los Alamos postao poznat bile su njegove dugačke šetnje po okolnim brdima s obvezatnom cigaretom u ustima i rastresenim pogledom koji zuri u nebo. Umjesto da radi, Feigenbaum je promatrao oblake…

Da bih pokazao što je to zapravo otkrio uzet ću školski primjer, kako ga Stewart naziva: “veseli majmun u kavezu teorije kaosa”, primjer koji se nalazi u svim knjigama o kaosu. Naravno, upravo na proučavanju tog majmuna Feigenbaum je došao do svog otkrića. I naravno, kao i mnogo toga u teoriji kaosa, majmun u početku nije imao nikakve veze s fizikom. Zapravo, u vrijeme kad je Feigenbaumu došao u ruke, više nije imao veze s ničim osim s podučavanjem studenata prve godine studija biologije i/ili ekologije kao povijesni primjer pokušaja modeliranja rasta populacije bioloških jedinki; povijesni primjer koji se više ne koristi jer postoje bolji i razvijeniji modeli za tu svrhu.

Logističko preslikavanje (populacijska jednadžba)

Zamislite da imate malu baru ili jezerce i u njemu populaciju riba koju možete izbrojati. Recimo da želite predvidjeti koliko riba će biti u toj bari sljedeće godine u isto vrijeme. Svakome tko se iole bavio biologijom biti će odmah jasno da na odgovor na to pitanje utječe nekoliko faktora poput količine dostupne hrane, postojanje i broj grabežljivaca koji se hrane vašim ribama, eventualna pojava bolesti i otpornost na istu, itd… Međutim, u najjednostavnijem modelu, populacija riba iduće godine ovisit će samo o broju riba ove godine. To možemo zapisati kao jednostavnu rekurzivnu formulu:

x_{n+1} = F (x_n)

pri čemu je:

  • x_{n+1} - broj riba iduće godine,
  • x_n - trenutni broj riba,
  • F - funkcijska ovisnost x_{n+1} o x_n

Ako sad znate broj riba u tekućoj godini i na koji način broj riba u sljedećoj godini ovisi o trenutnom broju riba (F) tada možete izračunati broj riba u idućoj godini… Ponavljajući postupak (iterirajući), uvijek uvrštavajući trenutnu vrijednost broja riba da biste dobili sljedeću, možete promatrati kako se populacija mijenja kroz godine. Očito je da ćete dobiti bitno različite nizove vrijednosti za različito odabrane F F. Ili možda ipak? O tome malo kasnije… Za ekologe je sigurno najbitnije pitanje: koji F uopće odabrati?

Najjednostavnije bi bilo misliti kako će svake godine populacija porasti za neki postotak. Ovo bi bio idealan teoretski slučaj sustava u kojem nema ograničavajućih faktora za populaciju (nema grabežljivaca, bolesti i hranidbeni resursi su neograničeni). U tom slučaju bi naša jednadžba poprimila ovakav (čisto linearni) oblik:

x_{n+1} = rx_n

pri čemu r jednostavno određuje koliko puta populacija poraste u godinu dana. Ovakav model daje:

  • neograničen rast populacije za r \geq 1
  • neograničen pad populacije za 0 \leq r < 1

Naravno, sasvim je očito da ovo nije realističan model. Realno se dešava nešto drugo. Populacija neko vrijeme raste. Zatim zbog ograničenih resursa u ekosistemu raste sve sporije dok ne dosegne neku kritičnu točku nakon koje počinje opadati. Opada sve dok se resursi ne oporave te opet počinje rasti. Kroz dugi niz godina, može se desiti da se ustali na nekoj stabilnoj vrijednosti ili ne, što opet ovisi o sustavu. Kako ovo modelirati?
1971. ekolog i matematičar Robert May bavio se jednostavnim modelom populacijske dinamike proizašlim iz općenite populacijske jednadžbe. Njegov model bio je ovakav:

x_{n+1} = r x_n (1-x_n)

Imamo sada dva faktora koji nam određuju populaciju: x_n i 1-x_n te naravno faktor rasta r. S obzirom da 1-x_n opada kada x_n raste i obrnuto, ovim jednostavnim modelom moguće je teoretski prikazati ponašanje populacije koje je puno bliže realnoj situaciji. Ostaje još pitanje izbora faktora r. I tu sada nastaju problemi. Što se faktora rasta r tiče, možete jednostavno početi od nule i povećavati ga, te tako za svaku dobivenu jednadžbu ubaciti par početnih x-eva i pogledati kako se ponaša populacija kroz godine. Zapravo, dosadan numerički posao kojeg je i May probao raditi i to u vrijeme kad su računala bila alat kojem su malobrojni znanstvenici vjerovali i kojeg su još malobrojniji od njih aktivno koristili.

Ja imam malo više sreće pa mogu na računalu isprobavati što se događa. Probajmo… Za r = 1,9 i početnu populaciju x_0 = 0,359 dobivam niz vrijednosti:

0,359 \rightarrow 0,4372 \rightarrow 0,4675 \rightarrow 0,4730 \rightarrow 0,4736 \rightarrow 0,4737 \rightarrow 0,4737 \rightarrow 0,4737 ...

Populacija se ustali na vrijednosti 0,4737 nakon svega nekoliko godina. Ovo nije uvijek tako. Zapravo sistematski to izgleda ovako:

  • 0 \leq r \leq 1 - populacija će izmurijeti bez obzira na vrijednost x_0
  • 1 < r \leq 2 - populacija konvergira broju \dfrac{r-1}{r}
  • 2 < r \leq 3 - populacija također konvergira broju \dfrac{r-1}{r}, međutim prije nego se ustali oscilira neko vrijeme oko te vrijednosti. Kad r dostigne 3, konvergencija je jako spora ali populacija na kraju ipak dostiže stabilno stanje.
  • Za r \geq 4 populacija divergira u \pm\infty za gotovo svaki početni x_0
  • 3 < r < 4 dešavaju se zanimljive stvari o kojima će biti riječi u nastavku. Zapravo, populacija se počinje ponašati kaotički.

Ono što se Mayu desilo u jednom trenutku bila je posljedica evidentne nelinearnosti gore navedene jednadžbe. Način na koji je May postupio bio je simptomatski za cijelu znanost do druge polovice dvadesetog stoljeća. U jednom trenutku vrijednosti populacije za odabrani r su počele izgledati potpuno nepredvidljive i nepravilne. May je odredio kad se to točno desi (za koji r) i tu je stao. Zašto? Pa naravno, jednadžba je nelinearna i u određenom trenutku nelinearnost se počinje manifestirati. To je trenutak u kojem model prestaje biti zanimljiv. Znanost teži “čistim” modelima koje je (relativno) lako kontrolirati i iz njih izvlačiti zaključke. Kad se u modelu pojavi nelinearnost, model postaje neupotrebljiv za proučavanje: linearan dio modela je zanimljiv, zar ne?

Dakle, May jednostavno kaže: model se ponaša pristojno do te i te mjere, a nakon toga postaje neupotrebljiv. Guranje smeća pod tepih? Kosturi u ormaru? To su neke stvari koje mi padaju na pamet. Ako nagomilate probleme pod tepihom kad tad će vam eksplodirati u lice. Vidjet ćemo da su stvari puno zanimljivije nego što je May vidio. A to će se desiti onog trenutka kad Feigenbaum nabasa na veselog majmuna kaosa….

…to be kontinjued…

Dodaci:

- Logističko preslikavanje - tablica - Ako imate Microsot Excell, možete downloadati tablicu u kojoj je moguće promatrati što se događa s populacijom riba ako mijenjate parametre r i x0 kod logističkog preslikavanja…

This entry was posted on Saturday, 23. June 2007. at 9:45 and is filed under Kaotična dinamika. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can skip to the end and leave a response. Pinging is currently not allowed.

Leave a Reply