“Trivijalne” činjenice o pojmu dimenzije (III.)

…nastavak članka “Trivijalne” činjenice o pojmu dimenzije (II.)…

Iako je pojam topološke dimenzije stvorio strožu i općenitije primjenjivu definiciju, takva definicija i dalje ne daje prihvatljiv odgovor na pitanje o dimenziji iznimno složenih objekata kao što su fraktalne (a time i prirodne) strukture. Uzmimo primjer jednostavnog fraktala kao što je Kochova krivulja. Iako se na prvi pogled čini da joj je dimenzija jedan to baš i nije prihvatljivo. Ako pogledamo prvih par iteracija, stvar izgleda kao prosječna ravninska krivulja: analogno određivanju dimenzije pravca u prethodnom dijelu možemo reći topološka dimenzija našeg čudovišta jednaka jedan. Međutim, ne smijemo zaboraviti da je ona zapravo beskonačno puta prelomljena krivulja. Još jednom: beskonačno. Po definiciji, obična ravninska krivulja nema širinu, samo duljinu (zato je jednodimenzionalna), ali naše čudovište se zbog silnih lomova više po izgledu približava plohi (ima “širinu” veću od nula i duljinu). Ipak, pod povećalom, to je krivulja. Izgleda kao da živi negdje između dimenzija jedan i dva. Neprihvatljivo je u isti koš trpati nju i sve ostale pristojne krivulje.

Norma, metrika i metrički prostor

Prije nego što nastavim podsjetimo se nekoliko jednostavnih pojmova. U 2D euklidskom prostoru distancu $d$ između dvije točke možemo odrediti formulom poznatom još iz osnovne škole pod imenom Pitagorin poučak:

$d^2 = x^2 + y^2$

Ovo se lako proširuje i na više dimenzija. Također, lako se vidi da ovako definirana, $d$ zadovoljava skup jednostavnih svojstava koji opisuju jednu klasu matematičkih veličina zvanih norma. U jednom te istom prostoru može postojati više veličina koje zadovoljavaju ova svojstva (više normi). Gore definirana norma naziva se euklidskom normom, ali u $E^2$ postoje i druge. Svaka norma u nekom prostoru definira jednu metriku. Svaki prostor u kojem je moguće definirati metriku naziva se metrički prostor. Što ovo sve znači? Pa, kako sam rekao stvar je jednostavna: ako imate metrički prostor onda imate mehanizam određivanja udaljenosti u njemu. Ako pak možete određivati udaljenosti možete definirati takozvane zatvorene diskove. Primjer: uzmite neku točku u ravnini i sve točke koje su od nje jednako udaljene. Dobit ćete kružnicu. Zatvoreni disk je ta kružnica i sve točke unutar nje. U $E^3$ diskovi bi zapravo bili kugle. Naravno, sve to pod pretpostavkom da koristite euklidsku normu. Kako sam rekao, moguće su i druge norme pa je moguće konstruirati takvu metriku u kojoj su zatvoreni diskovi u obliku kvadrata (kocki)…

Hausdorff-Besicovitcheva dimenzija

Uzmimo da imamo metrički prostor X (npr. kvadrat duljine stranice 1) Koliko zatvorenih diskova (u našem primjeru neka budu kvadrati) trebamo da bismo ga prekrili? Odgovor ovisi o tome koliko su veliki diskovi. Očito, ako je naš disk stranice 1 , treba nam 1 disk. Ako je disk duljine stranice $\frac{1}{2}$ trebaju nam 4 diska. Za disk duljine stranice $\frac{1}{3}$ treba nam 9 diskova… To pokazuje sljedeća slika:

Nazovimo veličinu kojom određujemo disk slovom $r$ , a broj takvih potrebnih diskova $N(r)$ . Vidimo da za gornji slučaj vrijedi:

$N(r) = \left( \frac{1}{r} \right) ^D$

te se Hausdorffova dimenzija računa kao:

$D = \dfrac{\log(N(r))}{\log(\frac{1}{r})}$

Što je gornjem primjeru:

$D \approx \dfrac{\log(4)}{\log(2)} = \dfrac{\log(9)}{\log(3)} = 2$

Općenitije zapravo vrijedi:

$D = \lim_{r \to \infty} \dfrac{\log(N(r))}{\log(\frac{1}{r})}$

a gornji primjer je aproksimacija koja ima svoju posebnu primjenu i ime, a o čemu nekoliko redaka kasnije. Pokazuje se da ovako definirana veličina ima sljedeća svojstva:

daje potpuno jednake vrijednosti dimenzije za klasične topološke objekte, ali poopćuje topološku definiciju.
ne mora uvijek biti cijeli broj
iako je definirana u metričkom prostoru ne ovisi o metrici prostora u kojem se primjenjuje

Najpoznatija posljedica ovako definirane dimenzije je činjenica da ona ne mora biti cijeli broj (primijenjena na Kochovo čudovište daje dimenziju $\frac{log(4)}{log(3)} \approx 1.26$ ). Ovo se često uzima kao jedno od osnovnih svojstava fraktala što nije u potpunosti točno. Prema Mandelbrotu fraktal je objekt čija je Hausdorffova dimenzija striktno veća od njegove topološke dimenzije. Ipak, čest je slučaj da je to zapravo realan, a ne prirodan, broj pa odatle zabuna.

Minkowski-Bouligand dimenzija
(poznata još i kao Box-counting dimenzija ili Packing dimenzija)

Iako je Hausdorffova dimenzija od velike teoretske važnosti, ona u praksi ima slabu primjenu. Naime, lako ju je izračunati kod fraktala koji su umjetno stvoreni. U takvom slučaju znamo kako se fraktal generira te možemo iz tog podatka odrediti $N(r)$ i $r$ . Međutim, kod realnih fraktalnih struktura (npr. morske obale) to nije moguće. Umjesto toga, fraktal se prekriva mrežom kvadratića (eg. milimetarskim papirom) sve finije i finije razdiobe (dakle, umjesto da gledamo razdiobu fraktalnog generatora, mi univerzalno koristimo kvadratić bez obzira na to kakav je generator fraktala; naravno, čisto zato jer generator često ne možemo ni odrediti). Ovo daje jako jednostavan algoritam pri kojem se prebrojavanjem kvadratića koji prekrivaju danu strukturu određuje dimenzija prema formuli sličnoj gore navedenoj za Hausdorffovu dimenziju. Naravno, ovako određena dimenzija ima samo aproksimativnu vrijednost (pri čemu je aproksimacija to bolja što upotrijebimo sitniju razdiobu), međutim u praksi je to dovoljno. Primjer kako to izgleda možete vidjeti na slici ispod:

Fraktalne dimenzije

Iako su ovdje navedene dvije osnovne definicije fraktalne dimenzije, izvori na webu tvrde da ih ima (ili ih je barem moguće konstruirati) još. Nažalost, do detaljnijih podataka o tome nisam uspio doći.

Dimenzija fraktala je na neki način mjera njegove kompleksnosti. Za umjetno konstruirane fraktale kod kojih je samosličnost jako izražena sve definicije fraktalne dimenzije daju isti rezultat. Međutim, one ni u kom slučaju nisu ekvivalentne. S obzirom na enormnu kompleksnost objekata kojima se fraktalna geometrija bavi, bilo koja od tih definicija može dobro poslužiti u pojedinom slučaju, a biti gotovo potpuno beskorisna (u smislu realno neizračunljiva) u nekom drugom slučaju.

Spužva i zgužvani papir…

Ova dva primjera zapravo nisu fraktali ali dobro ilustriraju što se događa kad pokušamo odrediti dimenziju fraktalnih struktura. Njihova topološka dimenzija je često odmah intuitivno jasna, no kad taj podatak pokušamo upotrijebiti za nešto korisno, dolazi do problema u vidu kontradikcija (kao kod zgužvanog papira). Iako se čini evidentnim da, ako dimenzija nije ni jedan ni dva, mora biti nešto između, tek je Mandelbrot u sedamdesetim godinama prošlog stoljeća sistematizirao do tada poznato znanje i primjenio ga na objekte kojima je dopustio da imaju dimenzije koje nisu cijeli brojevi. Upravo zahvaljujući tom svojstvu razlomljene dimenzije fraktali su dobili ime (lat. fractus, nepravilna, razlomljena površina)

Reference:

Sviđa ti se?

Budi prvi kome se sviđa ovaj post.

This entry was posted on 9. Svibanj 2007. at 12:30 and is filed under Slomljena geometrija. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can skip to the end and leave a response. Pinging is currently not allowed.