“Trivijalne” činjenice o pojmu dimenzije (II.)
…nastavak članka “Trivijalne” činjenice o pojmu dimenzije (I.)…
Topološka Dimenzija
Pod pojmom topološke dimenzije podrazumijeva se tzv. Lebesgueova prekrivajuća dimenzija (eng. Lebesgue covering dimension). Dimenzija topološkog prostora X se definira kao najmanji cijeli broj d takav da svako prekrivanje (eng. cover) prostora X otvorenim skupovima može biti rafinirano (eng. cover refinement, prijevod nije najsretniji ali trenutno nemam bolji) do te mjere da niti jedna točka prostora X nije u više od d + 1 podskupova danog prekrivanja. (Za formalnu definiciju v. reference članka). Prvo par primjera…
Promatrajmo pravac. Da bismo pravac potpuno prekrili s otvorenim podskupovima potrebna su nam barem dva njegova podskupa. Kako su ti podskupovi otvoreni (ne uključuju granične točke) moraju se, da bismo pokupili sve točke na pravcu, barem malo prekrivati. Stoga će se neke točke nalaziti istovremeno u oba podskupa. Ovo pak znači da je maksimalan broj pripadnosti neke točke podskupu jednak dva (d + 1 = 2). Dimenzija promatranog prostora je za jedan manja (d = 1) odnosno pravac je jednodimenzionalan. Ovo se vidi na sljedećoj slici:
Uzmimo sada kvadrat. Promatrajmo podskupove kvadrata takve da su opet kvadrati (ne nužno iste veličine). Zamislite to kao nekakav kolaž raznobojnih kvadrata koje lijepite na recimo komad bijelog A4 papira. Naši raznobojni kvadrati su od nekog čudnog papira: ako se samo dodiruju, pa čak i ako smo ih savršeno izrezali, ipak neće potpuno prekriti bijelu podlogu. Da bismo potpuno prekrili moraju se ti kvadratići malo preklapati po svojim stranicama (sjetite se, kvadratići su otvoreni skupovi). To znači da će se točke na rubovima nalaziti u najmanje dva otvorena podskupa (raznobojna kvadratića). To međutim nije najmanji broj. Ako se dvije susjedne stranice moraju preklapati s drugim kvadratićima to znači da će se vrh koji ih spaja nalaziti u minimalno tri kvadratića. Ovo je ujedno i maksimalan broj. Teško vam je to vizualizirati? Zašto ne četiri? Pogledajte sljedeću sliku, možda pomogne.
Područje zaokruženo crnim kružićima i označeno strelicama je područje u kojem se točke „oko“ vrha nalaze u samo tri od četiri preklapajuća kvadratića. Sve ostale točke na slici se nalaze ili u jednom ili u dva kvadratića. Dakle, najveći broj je 3, ne četiri. Može se zamisliti kako po prikazanom principu prekrivamo cijeli papir (ravninu). Dakle: d + 1 = 3, odnosno d = 2, tj. kvadrat (ravnina) je dvodimenzionalan.
Oke, vidimo da nam za poznate slučajeve ovakva definicija daje poznat rezultat. To je naravno jako dobro jer znači da definicija obuhvaća i prethodno znanje o dimenziji. Međutim, Lebesgueova dimenzija je općenitija. Kad su ljudi krenuli tragom Henrija Poincarea u bespuća nove discipline kojoj je on postavio temelje (topologije) brzo su se pojavili objekti/prostori koji nisu imali jednostavna algerbarska i geometrijska svojstva. Kako je pojam dimenzije jedan od temeljnih pojmova bilo je nužno pronaći način da se i takvim objektima ona odredi. Lebesgue je svoju definiciju zasnovao na prijašnjim radovima Karla Mengera, L. E. J. Brouwera i Pavel Urysohna. Zašto je to uopće bitno? Nisam još pokazao rješenje za dimenziju prethodno navedenih problema zgužvanog papira i spužve. Da bi ti problemi bili riješeni trebalo je proći još nešto vremena, međutim u samoj jezgri rješenja nalazi se upravo topološka dimenzija. Zbog toga ju je prethodno trebalo upoznati…
…to be kontinjued…
Reference:
