“Trivijalne” činjenice o pojmu dimenzije (I.)

Osnovni pojmovi

Dimenzija je jedan od onih pojmova za koje nam naša intuicija i percepcija nalažu da ih intuitivno shvatimo, no kad ju je potrebno definirati, uglavnom se nađemo u neprilici. Tome je barem djelomično tako zato što postoji nekoliko valjanih definicija ovisno o kontekstu u kojem se pokušavamo orijentirati.

Pojam dimenzije je karakteristika odabranog prostora, ona identificira i klasificira taj prostor i objekte (točke) u njemu. Intuitivno je jasno da pojedini objekt u nekom prostoru ne može imati dimenziju veću od tog prostora (pokušajte ugurati kocku u komad papira: eventualno ćete je spljoštiti toliko da postane kvadrat, ali kocka kao 3D tijelo “ne stane” u papir). Kako to obično biva, intuicija je jedno a stvarnost nešto sasvim drugo, no o tome malo kasnije. Prvo bih rekao nekoliko riječi o različitim prostorima i pojmu dimenzije u njima.

Euklidska dimenzija

Pretpostavljam da je svima jasan pojam trodimenzionalnog euklidskog prostora . Zašto je trodimenzionalan? Lako se vidi da je u tom prostoru potrebno barem tri veličine da bismo opisali neki objekt: duljina, širina i visina. Npr., ako trebamo u potpunosti opisati položaj neke točke na Zemlji, možemo se koristiti trima brojkama: zemljopisnom duljinom, zemljopisnom širinom i nadmorskom visinom. Brojka tri nije slučajna. Prva definicija dimenzije koja je ljudima pala na pamet bila je upravo vezana uz ovakve situacije: Dimenzija je minimalan broj realnih parametara potrebnih da se jednoznačno opiše položaj točke u danom prostoru.

Sve formalne definicije dimenzije zapravo se osnivaju na ovoj činjenici. Npr. dimenzija vektorskog prostora (poznata još kao Hamelova dimenzija) jednaka je maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora koje možemo postaviti u tom prostoru. Obrnuto, ako je dimenzija vektorskog prostora n, tada upravo n vektora u tome prostoru razapinju (potpuno i jednoznačno određuju) čitav taj prostor. je vektorski prostor. Najpoznatija kombinacija linearno nezavisnih vektora u tom prostoru je zasigurno pravokutni Kartezijev koordinatni sustav. Možemo imati 3 međusobno okomite (nezavisne) osi ali ne i četiri. Analogno, u 4D prostoru bismo mogli (morali) imati sustav od 4 međusobno okomite osi, itd… I ovdje brojimo parametre potrebne za jedinstvenu specifikaciju položaja objekta u prostoru.

Kolika je dimenzija točke? Za izolirani objekt nije potreban nikakav broj da bi se specifiralo njegov položaj. Osamljena točka je i prostor i točka u jednome. Stoga ona ima dimenziju 0.

Pogledajmo sada dimenziju pravca. Pravac se sastoji od niza poredanih točaka. Sada je u prostoru pravca potrebno razlikovati pojedine položaje točaka. Najlakše je ako svakoj točki pridijelimo jedan realan broj. Kako nam je za bilo koju točku potreban jedan i točno jedan broj da bismo je razlikovali od ostalih točaka, pravac je kao skup točaka (0-dimenzionalnih objekata) jednodimenzionalan.

Što je s ravninom? Ravnina je također skup točaka. Ujedno ona je i skup pravaca. Da bismo odredili položaj točke u ravnini moramo odrediti na kojem je pravcu i njen položaj na tom pravcu. Dakle, potrebna su nam dva broja. Ravnina je stoga dvodimenzionalna.

Analogijom se ovo može proširiti i dalje, međutim, već na ovom jednostavnom primjeru iskrsavaju problemi. Napravimo mali eksperiment. Uzmite komad papira. Papir dobro aproksimira pojam ravnine (za razliku od ravnine papir ima debljinu i ograničenu površinu ali to možemo ovdje zanemariti) te ga zato možemo smatrati dvodimenzionalnim prostorom. Sada taj komad papira zgužvajte u kuglu. Nakon toga ispravite papir i pokušajte ga zagladiti. Kolika je sada dimenzija papira? Pitanje nije tako jednostavno kako se čini. Debljina papira sada nije više zanemariva (imate svojevrstan krajolik na papiru koji se sastoji od brda i dolina). Mogli bismo reći da je papir postao trodimenzionalan jer sada možemo govoriti i o visini na kojoj se neka točka nalazi na papiru. S druge strane, ako povučemo crtu na tom zgužvanom papiru ona je evidentno dvodimenzionalna. Izgleda kao da naš zgužvani papir ima dimenziju veću od 2, a opet dimenzija mu nije 3.

Još jedan zgodan primjer: kolika je dimenzija spužve? Ilustracije radi zamislite u kocku oblikovanu spužvu s velikim, jasno vidljivim rupama. U prvi mah rekli bismo da je trodimenzionalna. Međutim, sama površina te kreacije nije samo ono što vidimo izvana već i gomila mjehurića unutar nje. Zamislite sada da ste se vi i vaš prijatelj smanjili na veličinu od svega nekoliko dijelova milimetra. Obojica živite na spužvi, svako na svojoj vanjskoj strani. Čuli ste da je nedavno negdje u centru otvoren jazz klub i odlučite se naći tamo da vidite na što to liči. Pitanje je, kako ćete specifirati adresu tog mjesta? Jesu li nam za položaj bilo koje točke na ukupnoj površini spužve (znači, ono izvana i svi mjehurići iznutra) dovoljna dva broja s obzirom da je riječ o plohi? Ili su nam možda potrebna 3 broja koji će nam na neki način odrediti na koji mjehurić mislimo i gdje na plohi tog mjehurića se nalazi željena točka? Ili možda…ali ne to bi bilo suludo, no ipak, možda nam treba neki broj između dva i tri?

Vidimo da jednostavno brojanje parametara nije dovoljno za jednoznačno određivanje dimenzije nekih prostora (još nekoliko zanimljivih demonstracijskih primjera koji pokazuju slične probleme s ovakvom definicijom moguće je vidjeti ovdje). Uglavnom, definicija zahtjeva mali „popravak“…

…to be kontinjued…

Reference:

• Dimension - Wikipedia
• Dimension - from Wolfram MathWorld
• Euclidean Dimension - ChaosHyperthext book